Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số chứa giá trị tuyệt đối lớp 12 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. Phương pháp: Để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = | f(x)|$ ta làm như sau:
Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$.
Giả sử $\mathop {\min }\limits_D f(x) = m$; $\mathop {\max }\limits_D f(x) = M$.
Bước 2: Khi đó,
$\mathop {max}\limits_D |f(x)| = \frac{{|M + m| + |M – m|}}{2}$;
$\mathop {\min }\limits_D |f(x)| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{|M + m| – |M – m|}}{2}}&{ khi\,\,m.M > 0} \\
0&{ khi\,\,m.M \leqslant 0}
\end{array}} \right.$.
II. Các ví dụ
Mức thông hiểu
Ví dụ 1: Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x + 2} \right|$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$. Tính $m + M$.
Lời giải
* Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = {x^2} – 2x + 2$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$.
Ta có:
$f'(x) = 2x – 2$; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
$f(0) = 2$; $f(1) = 1$; $f(2) = 2$.
Suy ra, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = 1$; $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = 2$
* Do đó, $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {{x^2} – 2x + 2} \right| = \frac{{\left| {2 + 1} \right| – \left| {2 – 1} \right|}}{2} = 1$; $M = \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {{x^2} – 2x + 2} \right| = \frac{{\left| {2 + 1} \right| + \left| {2 – 1} \right|}}{2} = 2$.
Vậy, $m + M = 1 + 2 = 3$.
Ví dụ 2: Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left| {\frac{{2x – 5}}{{4x – 5}}} \right|$ trên đoạn $\left[ { – 4; – 1} \right]$. Tính $m + M$.
Lời giải
* Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = \frac{{2x – 5}}{{4x – 5}}$ trên đoạn $\left[ { – 4; – 1} \right]$.
Ta có:
$f'(x) = \frac{{10}}{{{{\left( {4x – 5} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in \left[ { – 4; – 1} \right]$;
Suy ra, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 4; – 1} \right]} f(x) = f( – 4) = \frac{{13}}{{21}}$; $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 4; – 1} \right]} f(x) = f( – 1) = \frac{7}{9}$
* Do đó, $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 4; – 1} \right]} \left| {f(x)} \right| = \frac{{\left| {\frac{7}{9} + \frac{{13}}{{21}}} \right| – \left| {\frac{7}{9} – \frac{{13}}{{21}}} \right|}}{2} = \frac{{13}}{{21}}$; $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 4; – 1} \right]} \left| {f(x)} \right| = \frac{{\left| {\frac{7}{9} + \frac{{13}}{{21}}} \right| + \left| {\frac{7}{9} – \frac{{13}}{{21}}} \right|}}{2} = \frac{7}{9}$.
Vậy, $m + M = \frac{{13}}{{21}} + \frac{7}{9} = \frac{{88}}{{63}}$.
Ví dụ 3: Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left| {{x^3} – 3x} \right|$ trên đoạn $\left[ { – 2;2} \right]$. Tính $m + M$.
Lời giải
* Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = {x^3} – 3x$ trên đoạn $\left[ { – 2;2} \right]$.
Ta có:
$f'(x) = 3{x^2} – 3$; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Khi đó, $f( – 2) = – 2$; $f(2) = 2$; $f(1) = – 2$; $f( – 1) = 2$.
Suy ra, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f(x) = – 2$; $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f(x) = 2$
* Do đó,
$m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} \left| {{x^3} – 3x} \right| = 0$ (Do $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f(x).\mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f(x) = – 2.2 = – 4 < 0$);
$M = \mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} \left| {{x^3} – 3x} \right| = \frac{{\left| {2 + ( – 2)} \right| + \left| {2 – ( – 2)} \right|}}{2} = 2$.
Vậy, $m + M = 0 + 2 = 2$.
Ví dụ 4: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left| {f(x)} \right|$ trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$. Tính $m + M$.
Lời giải
* Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f(x) = – 2$; $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f(x) = 1$
* Do đó,
$m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} \left| {f(x)} \right| = 0$ (Do $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f(x).\mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f(x) = – 2.1 = – 2 < 0$);
$M = \mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} \left| {f(x)} \right| = \frac{{\left| {1 + ( – 2)} \right| + \left| {1 – ( – 2)} \right|}}{2} = 2$.
Vậy, $m + M = 0 + 2 = 2$.
Mức vận dụng
Ví dụ 5. Tính tổng các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| { – {x^4} + 8{x^2} + m} \right|$ trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right]$ bằng $2025$.
A. $6$. B. $ – 6$. C. $ – 7$. D. $4$.
Lời giải
Ta có $f\left( x \right) = – {x^4} + 8{x^2} + m$ nên $f’\left( x \right) = – 4{x^3} + 16x$.
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm 2. \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Khi đó, $f\left( { – 1} \right) = m + 7$; $f\left( 0 \right) = m$; $f\left( 2 \right) = m + 16$; $f\left( 3 \right) = m – 9$.
Suy ra, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} f(x) = m + 16$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} f(x) = m – 9$.
Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} y = \frac{{\left| {(m + 16) + (m – 9)} \right| + \left| {(m + 16) – (m – 9)} \right|}}{2}$
$ = \frac{{\left| {2m + 7} \right| + 25}}{2} = 2025 \Leftrightarrow \left| {2m + 7} \right| = 4025$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
2m + 7 = 4025 \hfill \\
2m + 7 = – 4025 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 2009 \hfill \\
m = – 2016 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy tổng các giá trị của tham số $m$ là $2009 + ( – 2016) = – 7$.
Ví dụ 6. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {\frac{1}{4}{x^4} – 14{x^2} + 48x + {m^2} – 30} \right|$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ không vượt quá 30. Tìm số phần tử của S.
Lời giải
Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} – 14{x^2} + 48x + {m^2} – 30$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$
$f’\left( x \right) = {x^3} – 28x + 48$; $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 6 \notin \left[ {0;2} \right] \hfill \\
x = 4 \notin \left[ {0;2} \right] \hfill \\
x = 2 \in \left[ {0;2} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right.$; $f\left( 0 \right) = {m^2} – 30,f\left( 2 \right) = 14 + {m^2}$
Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{{\left| {(14 + {m^2}) + ({m^2} – 30)} \right| + \left| {(14 + {m^2}) – ({m^2} – 30)} \right|}}{2}$
$ = \frac{{\left| {2{m^2} – 16} \right| + 44}}{2} = \left| {{m^2} – 8} \right| + 22 \leqslant 30$
$ \Leftrightarrow 0 \leqslant {m^2} \leqslant 16 \Leftrightarrow – 4 \leqslant m \leqslant 4$$\mathop \Rightarrow \limits^{m \in \mathbb{Z}} m \in \left\{ { – 4; – 3; \cdots ;4} \right\}$
Vậy, có 9 phần tử $m$ nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 7. Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số $y = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m} \right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ { – 3;2} \right]$ bằng $150$?
Lời giải
Đặt $f\left( x \right) = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m$. Ta có $f’\left( x \right) = 12{x^3} – 12{x^2} – 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
$f\left( { – 3} \right) = 243 + m$, $f\left( { – 1} \right) = – 5 + m$, $f\left( 0 \right) = m$, $f\left( 2 \right) = – 32 + m$.
Khi đó $\left\{ \begin{gathered}
A = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 3;2} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( { – 3} \right);f\left( { – 1} \right);f\left( 0 \right);f\left( 2 \right)} \right\} \hfill \\
a = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;2} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( { – 3} \right);f\left( { – 1} \right);f\left( 0 \right);f\left( 2 \right)} \right\} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
A = f\left( { – 3} \right) = 243 + m \hfill \\
a = f\left( 2 \right) = – 32 + m \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 3;2} \right]} y = \frac{{\left| {A + a} \right| + \left| {A – a} \right|}}{2} = \frac{{\left| {211 + 2m} \right| + 275}}{2} = 150 \Leftrightarrow \left| {211 + 2m} \right| = 25$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
211 + 2m = 25 \hfill \\
211 + 2m = – 25 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = – 93 \hfill \\
m = – 118 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Do đó có hai giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 8. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {{x^3} – 3x + 2m – 1} \right|$ trên đoạn $\left[ {0\,;\,2} \right]$ là nhỏ nhất.
Lời giải
Đặt $f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 2m – 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2} – 3$.
Xét $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \notin \left[ {0\,;\,2} \right] \hfill \\
x = 1 \in \left[ {0\,;\,2} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Ta có : $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = 2m – 1 \hfill \\
f\left( 1 \right) = 2m – 3 \hfill \\
f\left( 2 \right) = 2m + 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = 2m + 1, \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = 2m – 3. \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra, $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} \left| {{x^3} – 3x + 2m – 1} \right| = \left| {2m – 1} \right| + 2 \geqslant 2$.
Do đó, $\min M = 2$.
Dấu “$ = $” xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {2m – 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.
Mức vận dụng cao
Ví dụ 9. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {\frac{1}{4}{x^4} – 14{x^2} + 48x + m – 30} \right|$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ không vượt quá $30$. Tính tổng giá trị các phần tử của tập hợp $S$.
Lời giải
Đặt $g\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} – 14{x^2} + 48x + m – 30$$ \Rightarrow g’\left( x \right) = {x^3} – 28x + 48$
$ \Rightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 6 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
x = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g(x) = m – 30$; $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} g(x) = m + 14$.
Do đó, $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {g(x)} \right| = \left| {m – 8} \right| + 22$
Theo đề, ta có $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y \leqslant 30 \Leftrightarrow \left| {m – 8} \right| + 22 \leqslant 30 \Leftrightarrow \left| {m – 8} \right| \leqslant 8 \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 16$
Vậy $S = \left\{ {0;1;2;3;…;16} \right\}$.
Suy ra tổng giá trị các phần tử của tập hợp $S$ bằng $136$.
Ví dụ 10. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – 2x + 1$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right) + m} \right|$ trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right]$ bằng $8$. Tính tổng các phẩn tử của $S$.
Lời giải
Đặt $t = {x^2} – 2x + 1 \Rightarrow t’ = 2x – 2 \Rightarrow t = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ { – 1;3} \right]$.
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $t \in \left[ {0;4} \right]$.
Bài toán đưa về: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( t \right) = \left| {{t^2} – 2t + m} \right|$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ bằng $8$. Tính tổng các phẩn tử của $S$.
Đặt $h\left( t \right) = {t^2} – 2t + m \Rightarrow t’ = 2t – 2 \Rightarrow h’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \in \left[ {0;4} \right]$.
Ta có $h\left( 1 \right) = m – 1,h\left( 0 \right) = m – 1,h\left( 4 \right) = m + 8$
Do đó, $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} g(x) = \frac{{\left| {\left( {m + 8} \right) + (m – 1)} \right| + \left( {m + 8} \right) + (m – 1)}}{2}$
$ = \frac{{\left| {2m + 7} \right| + 9}}{2} = 8$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 0 \hfill \\
m = – 7 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow S = \left\{ { – 7;0} \right\}$
Vậy, tổng các phần tử của $S$ bằng $ – 7 + 0 = – 7.$
