Các dạng bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. LÝ THUYẾT
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${S^2}$, được tính theo công thức sau:
${S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{m_1}{{\left( {{x_1} – \bar x} \right)}^2} + {m_2}{{\left( {{x_2} – \bar x} \right)}^2} + … + {m_k}{{\left( {{x_k} – \bar x} \right)}^2}} \right]$
Trong đó:
$n = {m_1} + {m_2} + … + {m_k}$; ${x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}$ với $i = 1,2,…,k$ là giá trị đại diện cho nhóm $\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)$.
$\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + … + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $S$, là căn bậc hai số học của phương sai, nghĩa là $S = \sqrt {{S^2}} $.
Chú ý:
• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có thể được tính theo công thức sau:
${S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{m_1}x_1^2 + {m_2}x_2^2 + … + {m_k}x_k^2} \right] – {\bar x^2}$
• Trong thống kê, người ta còn dùng đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm
${\hat s^2} = \frac{1}{{n – 1}}\left[ {{m_1}{{\left( {{x_1} – \bar x} \right)}^2} + {m_2}{{\left( {{x_2} – \bar x} \right)}^2} + … + {m_k}{{\left( {{x_k} – \bar x} \right)}^2}} \right];{\text{ }}\hat s = \sqrt {{{\hat s}^2}} $
Ý nghĩa
• Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu.
• Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán .
II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
| Nhóm | [0; 10) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) |
| Tần số | 5 | 4 | 7 | 8 |
Hãy tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải
Cỡ mẫu là $n = 5 + 4 + 7 + 8 = 24$
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline x = \frac{{5.5 + 4.15 + 7.25 + 8.35}}{{24}} = 22,5$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${S^2} = \frac{1}{{24}}\left[ {{{5.5}^2} + {{4.15}^2} + {{7.25}^2} + {{8.35}^2}} \right] – 22,{5^2} = \frac{{1525}}{{12}} \approx 127,8$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S = \sqrt {{S^2}} \approx \sqrt {127,8} \approx 11,3$
Ví dụ 2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
| Nhóm | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) |
| Tần số | 8 | 10 | 11 | 8 | 3 |
Hãy tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải
Cỡ mẫu là $n = 8 + 10 + 11 + 8 + 3 = 40$
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline x = \frac{{8.2,5 + 10.7,5 + 11.12,5 + 8.17,5 + 3.22,5}}{{40}} = 11$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${S^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {8.2,{5^2} + 10.7,{5^2} + 11.12,{5^2} + 8.17,{5^2} + 3.22,{5^2}} \right] – {11^2} = \frac{{73}}{2} \approx 36,5$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {36,5} \approx 6,04$
Ví dụ 3. Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.
| Cự li (m) | [19; 19,5) | [19,5; 20) | [20; 20,5) | [20,5; 21) | [21; 21,5) |
| Tần số | 13 | 45 | 24 | 12 | 6 |
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải
Ta có bảng sau:
| Cự li (m) | [19; 19,5) | [19,5; 20) | [20; 20,5) | [20,5; 21) | [21; 21,5) |
| Giá trị
đại diện |
19,25 | 19,75 | 20,25 | 20,75 | 21,25 |
| Tần số | 13 | 45 | 24 | 12 | 6 |
Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline x = \frac{{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}}{{100}} = 20,015$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${S^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {13.{{\left( {19,25} \right)}^2} + 45.{{\left( {19,25} \right)}^2} + 24.{{\left( {19,25} \right)}^2} + 12.{{\left( {19,25} \right)}^2} + 6.{{\left( {19,25} \right)}^2}} \right] – {\left( {20,015} \right)^2} \approx 0,277$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S = \sqrt {{S^2}} \approx \sqrt {0,277} \approx 0,526$
Ví dụ 4. Minh Hiền và Minh Nhàn cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân hai bạn đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:
| Số bước (đơn vị: nghìn) | [3; 5) | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) |
| Số ngày của Minh Hiền | 6 | 7 | 6 | 6 | 5 |
| Số ngày của Minh Nhàn | 2 | 5 | 13 | 8 | 2 |
a) Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn nào có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn?
Lời giải
a) Ta có bảng sau:
| Số bước (đơn vị: nghìn) | [3; 5) | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) |
| Số bước đại diện | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| Số ngày của Minh Hiền | 6 | 7 | 6 | 6 | 5 |
| Số ngày của Minh Nhàn | 2 | 5 | 13 | 8 | 2 |
• Xét mẫu số liệu của Minh Hiền:
Cỡ mẫu là ${n_H} = 6 + 7 + 6 + 6 + 5 = 30$
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${\overline x _H} = \frac{{6.4 + 7.6 + 6.8 + 6.10 + 5.12}}{{30}} = 7,8$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$S_H^2 = \frac{1}{{30}}\left( {{{6.4}^2} + {{7.6}^2} + {{6.8}^2} + {{6.10}^2} + {{5.12}^2}} \right) – {\left( {7,8} \right)^2} = 7,56$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${S_H} = \sqrt {S_H^2} = \sqrt {7,56} \approx 2,75$
• Xét mẫu số liệu của Minh Nhàn:
Cỡ mẫu là ${n_N} = 2 + 5 + 13 + 8 + 2 = 30$
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${\overline x _N} = \frac{{2.4 + 5.6 + 13.8 + 8.10 + 2.12}}{{30}} = 8,2$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$S_N^2 = \frac{1}{{30}}\left( {{{2.4}^2} + {{5.6}^2} + {{13.8}^2} + {{8.10}^2} + {{2.12}^2}} \right) – {\left( {8,2} \right)^2} = 3,83$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${S_N} = \sqrt {S_N^2} \approx \sqrt {3,83} \approx 1,96$
b) Ta thấy ${S_H} \approx 2,75 > {S_N} \approx 1,96$
Do đó, nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Minh Nhàn có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn Minh Hiền.
Ví dụ 5. Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một số cây xoan đào 5 năm tuổi ở bảng sau:
| Đường kính (cm) | [30; 32) | [32; 34) | [34; 36) | [36; 38) | [38; 40) |
| Số cây trồng ở địa điểm A | 25 | 38 | 20 | 10 | 7 |
| Số cây trồng ở địa điểm B | 22 | 27 | 19 | 18 | 14 |
a) Hãy so sánh đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A và địa điểm B.
b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm nào có đường kính đồng đều hơn?
Lời giải
a) Ta có bảng sau:
| Đường kính (cm) | [30; 32) | [32; 34) | [34; 36) | [36; 38) | [38; 40) |
| Giá trị đại diện | 31 | 33 | 35 | 37 | 39 |
| Số cây trồng ở địa điểm A | 25 | 38 | 20 | 10 | 7 |
| Số cây trồng ở địa điểm B | 22 | 27 | 19 | 18 | 14 |
Cỡ mẫu: nA = 25 + 38 + 20 + 10 + 7 = 100; nB = 22 + 27 + 19 + 18 + 14 = 100.
Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:
${\overline x _A} = \frac{{25.31 + 38.33 + 20.35 + 10.37 + 7.39}}{{100}} = 33,72$
Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:
${\overline x _B} = \frac{{22.31 + 27.33 + 19.35 + 18.37 + 14.39}}{{100}} = 34,5$
Vì ${\overline x _A} = 33,72 < {\overline x _B} = 34,5$nên đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A nhỏ hơn tại địa điểm B.
b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:
$S_A^2 = \frac{1}{{100}}\left( {{{25.31}^2} + {{38.33}^2} + {{20.35}^2} + {{10.37}^2} + {{7.39}^2}} \right) – {\left( {33,72} \right)^2} \approx 5,402$
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:
$S_A^{} = \sqrt {S_A^2} \approx \sqrt {5,402} \approx 2,324$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:
$S_B^2 = \frac{1}{{100}}\left( {{{22.31}^2} + {{27.33}^2} + {{19.35}^2} + {{18.37}^2} + {{14.39}^2}} \right) – {\left( {34,5} \right)^2} \approx 7,31$.
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:
$S_B^{} = \sqrt {S_B^2} = \sqrt {7,31} \approx 2,704$
Vì $S_A^{} \approx 2,324 < S_B^{} \approx 2,704$nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn.
Ví dụ 6. Biểu đồ sau biểu diễn chiều cao của học sinh nữ lớp 12.
a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu ở biểu đồ trên và xác định giá trị đại điện của mỗi nhóm và tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Xét mẫu số liệu mới gồm các giá trị đại diện của các nhóm, tần số của mỗi giá trị đại diện bằng tần số của nhóm tương ứng. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới.
Lời giải
a) Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm và tính được giá trị đại diện của mỗi nhóm như sau:
| Chiều cao (cm) | [160; 164) | [164; 168) | [168; 172) | [172; 176) | [176; 180) |
| Số học sinh | 3 | 5 | 8 | 4 | 1 |
| Giá trị
đại diện |
162 | 166 | 170 | 174 | 178 |
Số học sinh nữ lớp 12 tham gia khảo sát là n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline x = \frac{{3.162 + 5.166 + 8.170 + 4.147 + 1.178}}{{21}} = \frac{{3550}}{{21}}$
b) Ta có bảng thống kê mẫu số liệu mới:
| Giá trị
đại diện |
162 | 166 | 170 | 174 | 178 |
| Số học sinh | 3 | 5 | 8 | 4 | 1 |
Cỡ mẫu n = 21.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\overline x = \frac{{3550}}{{21}}$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${s^2} = \frac{{3{{\left( {162 – \frac{{3550}}{{21}}} \right)}^2} + 5{{\left( {166 – \frac{{3550}}{{21}}} \right)}^2} + 8{{\left( {170 – \frac{{3550}}{{21}}} \right)}^2} + 4{{\left( {174 – \frac{{3550}}{{21}}} \right)}^2} + 1{{\left( {178 – \frac{{3550}}{{21}}} \right)}^2}}}{{21}} = \frac{{8000}}{{441}} \approx 18,14$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{{8000}}{{441}}} \approx 4,26$
Ví dụ 7. Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên.
a) Hãy cho biết có bao nhiêu máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ?
b) Hãy xác định số trung bình và độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin.
Lời giải
a) Từ biểu đồ ta thấy có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ.
b) Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:
| Thời gian (giờ) | [7,2; 7,4) | [7,4; 7,6) | [7,6; 7,8) | [7,8; 8,0) |
| Giá trị đại diện | 7,3 | 7,5 | 7,7 | 7,9 |
| Số máy vi tính | 2 | 4 | 7 | 5 |
Cỡ mẫu là n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline x = \frac{{2.7,3 + 4.7,5 + 7.7,7 + 5.7,9}}{{18}} = \frac{{23}}{3}$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${S^2} = \frac{1}{{18}}\left[ {2.{{\left( {7,3} \right)}^2} + 4.{{\left( {7,5} \right)}^2} + 7.{{\left( {7,7} \right)}^2} + 5.{{\left( {7,9} \right)}^2}} \right] – {\left( {\frac{{23}}{3}} \right)^2} \approx 0,032$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S = \sqrt {{S^2}} \approx \sqrt {0,032} \approx 0,179$
Ví dụ 8. Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:
| 42 | 43,4 | 43,4 | 46,5 | 46,7 | 46,8 | 47,5 | 47,7 | 48,1 | 48,4 |
| 50,8 | 52,1 | 52,7 | 53,9 | 54,8 | 55,6 | 57,5 | 59,6 | 60,3 | 61,1 |
a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.
c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.
Lời giải
a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:
R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).
Cỡ mẫu n = 20.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:
| 42 | 43,4 | 43,4 | 46,5 | 46,7 | 46,8 | 47,5 | 47,7 | 48,1 | 48,4 |
Do đó, ${Q_1} = \frac{{46,7 + 46,8}}{2} = 46,75$
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:
| 50,8 | 52,1 | 52,7 | 53,9 | 54,8 | 55,6 | 57,5 | 59,6 | 60,3 | 61,1 |
Do đó, ${Q_3} = \frac{{54,8 + 55,6}}{2} = 55,2$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = Q3 – Q1 = 55,2 – 46,75 = 8,45.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
$\overline x = \frac{{42 + 43,4 + … + 60,3 + 61,1}}{{20}} = 50,945$
Phương sai của mẫu số liệu là:
${S^2} = \frac{1}{{20}}\left[ {{{42}^2} + {{\left( {43,4} \right)}^2} + … + {{\left( {60,3} \right)}^2} + {{\left( {61,1} \right)}^2}} \right] – {\left( {50,945} \right)^2} \approx 32,2$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $S = \sqrt {{S^2}} \approx \sqrt {32,2} \approx 5,675$
b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:
| Tốc độ (km/h) | [42; 46) | [46; 50) | [50; 54) | [54; 58) | [58; 62) |
| Số xe | 3 | 7 | 4 | 3 | 3 |
c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:
R‘ =62 – 42 = 20 (km/h).
Gọi x1; x2; …; x20 là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
x1; x2; x3 ∈ [42; 46), x4; …; x10 ∈ [46; 50), x11; …; x14 ∈ [50; 54), x15; …; x17 ∈ [54; 58), x18; x19; x20 ∈ [58; 62).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2} \in $ [46; 50).
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_1′ = 46 + \frac{{\frac{{20}}{4} – 3}}{7}\left( {50 – 46} \right) = \frac{{330}}{7}$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2} \in $ [54; 58).
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_3′ = 54 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} – \left( {3 + 7 + 4} \right)}}{3}\left( {58 – 54} \right) = \frac{{166}}{3}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\Delta _Q’ = Q_3′ – Q_1′ = \frac{{166}}{3} – \frac{{330}}{7} \approx 8,19$
Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:
| Tốc độ (km/h) | [42; 46) | [46; 50) | [50; 54) | [54; 58) | [58; 62) |
| Giá trị đại diện | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 |
| Số xe | 3 | 7 | 4 | 3 | 3 |
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline x ‘ = \frac{{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}}{{20}} = 51,2$
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${\left( {S’} \right)^2} = \frac{1}{{20}}\left[ {{{3.44}^2} + {{7.48}^2} + {{4.52}^2} + {{3.56}^2} + {{3.60}^2} + } \right] – {\left( {51,2} \right)^2} = 26,56$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$S’ = \sqrt {{{\left( {S’} \right)}^2}} = \sqrt {26,56} \approx 5,154$
