Chuyên đề tính tích phân bằng tính chất theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 33 của đề tham khảo môn Toán.
DẠNG TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT TÍNH PHÂN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Định nghĩa tích phân:
Định nghĩa:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Giả sử $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, hiệu số $F\left( b \right) – F\left( a \right)$được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ ( hay còn gọi là tích phân xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ của hàm số $f\left( x \right)$).
Kí hiệu: $\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) – F\left( a \right)$.
Nhận xét: tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm $f$ , vào cận $a,b$ mà không phụ thuộc vào biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu $f\left( x \right)$liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thì tích phân$\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ là diện tích $S$của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$và hai đường thẳng $x = a,\,\,x = b$.
$S = \int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
2. Tính chất tích phân.
$\int_a^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0$.
$\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \int_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
$\int_a^b {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \,\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right)$.
$\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x + } \int_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \,\,\left( {a < c < b} \right)$.
$\int_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x \pm } \int_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} $.
Nếu $y = f\left( x \right)$ là hàm lẻ, liên tục trên đoạn $\left[ { – a;a} \right]$ thì: $\int_{ – a}^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0$.
Nếu $y = f\left( x \right)$ là hàm chẵn, liên tục trên đoạn $\left[ { – a;a} \right]$ thì: $\int_{ – a}^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int_0^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Lý thuyết về tích phân.
Sử dụng định nghĩa, ý nghĩa hình học của tích phân.
Các bài toán liên quan tổng, hiệu, tích với các số thực, các hàm đơn giản.
Các bài toán liên quan nguyên hàm cơ bản, nguyên hàm mở rộng.
Các bài toán liên quan nguyên hàm chứa nhánh.
Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ.
Tích phân lượng giác đặc biệt.
…
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Nếu $\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]} dx = 5$ thì $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx$
A. $3$. B. $2$. C. $\frac{3}{4}$. D. $\frac{3}{2}$.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tích phân dựa vào tính chất của tích phân.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Tính chất tích phân:
i) $\int\limits_a^b {k.f\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},k \ne 0} \right)$.
ii) $\int_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x \pm } \int_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} $
3. HƯỚNG GIẢI:
Dựa vào 2 tính chất trên ta được kết quả.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]} dx = 5 \Leftrightarrow 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^3 {dx} = 5 \Leftrightarrow 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + 2 = 5 \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = \frac{3}{2}$
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Cho $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 12$và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$, khi đó $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A. $ – 2$. B. $12$. C. $22$. D. $2$.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
$\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} $
$ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} + 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 12 + 2.5 = 22$.
Câu 2. Nếu $\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2;\,\int_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$ thì $\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng
A. 5. B. 1. C. 7. D. 3.
Lời giải
Chọn A
Ta có : $\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 3\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$.
Câu 3. Nếu $\int_{ – 2}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$ thì $\int_{ – 2}^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x} $ bằng
A. 8. B.14. C.15. D.11.
Lời giải
Chọn B
Ta có : $\int_{ – 2}^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x} = \int_{ – 2}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 3\int_{ – 2}^1 {{\rm{d}}x} = 5 + 3\left. x \right|_{ – 2}^1 = 14$.
Câu 4. Nếu $\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2,\,\,\int_{ – 3}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$ thì $\int_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A.8. B.14. C.$ – 1$ . D.11.
Lời giải
Chọn C
Ta có : $\int_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_{ – 3}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int_2^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_{ – 3}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 1$.
Câu 5. Nếu $\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4$ thì $\int_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) – 8} \right]{\rm{d}}x} $ bằng
A.8. B.$ – 8$ . C.0. D.4.
Lời giải
Chọn B
Ta có : $\int_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) – 8} \right]{\rm{d}}x} = 2\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 8\int_0^2 {{\rm{d}}x} = 2.4 – 8\left. x \right|_0^2 = – 8$.
Câu 6. Cho tích phân $\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2} $. Tính tích phân $J = \int\limits_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – 2} \right]{\rm{d}}x} $.
A. $J = 6$. B. $J = 2$. C. $J = 8$. D. $J = 4$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $J = \int\limits_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – 2} \right]{\rm{d}}x} = 3\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2\int\limits_0^2 {{\rm{d}}x} = 3.2 – \left. {2x} \right|_0^2 = 6 – 4 = 2$.
Câu 7. Biết rằng $\int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 3,\,\,\,\int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$. Tính $\int_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} ?$
A.2. B.5. C.8. D.-2.
Lời giải
Chọn D
Ta có : $\int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} $
$ \Leftrightarrow \int_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} – \int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 – 5 = – 2$.
Câu 8. Nếu $\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3$ thì $\int_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{3}{\rm{d}}x} $ bằng
A.9. B.3. C.1. D.6.
Lời giải
Chọn C
Ta có : $\int_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{3}{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\int_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 1$.
Câu 9. Nếu $\int_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = 3$ thì $\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A.2. B.$\frac{5}{2}$. C.$\frac{1}{2}$. D.$\frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có : $\int_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = 2\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int_0^2 {{\rm{d}}x} = 2\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2$.
$ \Rightarrow \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{\int_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} + 2}}{2} = \frac{5}{2}$.
Câu 10. Nếu $\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – x} \right]{\rm{d}}x} = 5$ thì $\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A.$\frac{7}{3}$. B.$\frac{5}{2}$. C.2. D.$\frac{5}{3}$ .
Lời giải
ChọnA
Ta có : $\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – x} \right]{\rm{d}}x} = 3\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int_0^2 {x{\rm{d}}x} = 3\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2 = 3\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2$.
$ \Rightarrow \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – x} \right]{\rm{d}}x} + 2}}{3} = \frac{7}{3}$.
Mức độ 2
Câu 1. Cho $\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – 2x} \right]dx} = 1$. Khi đó $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$bằng :
A.$1$. B. $ – 3$. C. $3$. D. $ – 1$.
Lời giải
Chọn A
$\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – 2x} \right]dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx – 2\int\limits_1^2 {xdx} } = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx – 2.} \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2 = 1\\ \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow } \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1} \end{array}$
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;\,10} \right]$ và $\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} $ và $\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} $. Tính $P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} } $.
A. $P = 7$. B. $P = – 4$. C. $P = 4$. D. $P = 10$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} $$ \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 7$
$ \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 7 – 3 = 4$.
Vậy $P = 4$.
Câu 3. Nếu $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$ thì $\int_{ – 1}^0 {f\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} $ bằng
A.$ – 4$. B.4. C.$1$. D.$ – 1$.
Lời giải
Chọn C
Đặt $t = 2x + 1 \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x$.
Đổi cận : $\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 \Rightarrow t = – 1\\x = 0 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$ .
$\int_{ – 1}^0 {f\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int_{ – 1}^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 1$.
Câu 4. Biết $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, xác định, liên tục trên $\left[ { – 1;1} \right]$và $\int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$.Tính$\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
A.0. B.4. C.$1$. D.2.
Lời giải
Chọn B
Vì$y = f\left( x \right)$là hàm số chẵn,xác định,liên tục trên $\left[ { – 1;1} \right]$ nên $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4$.
Câu 5. Biết $y = f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, xác định, liên tục trên $\left[ { – 2;2} \right]$ và $\int_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4$.Tính$\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
A.$ – 4$. B.4. C.0. D.2.
Lờigiải
Chọn A
Vì$y = f\left( x \right)$là hàm số lẻ,xác định,liên tục trên $\left[ { – 2;2} \right]$ nên $\int_{ – 2}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0 \Leftrightarrow \int_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0 \Leftrightarrow \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \int_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 4$.
Câu 6. Biết $\int_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 8,\,\,\int_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 7$. Tính$\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
A.1. B.4. C.3. D.2.
Lời giải
Chọn D
Đặt $a = \int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} ,\,\,\,b = \int_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} $ . Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 8\\4a – b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.$ .
Vậy $\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$.
Câu 7. Cho $\int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1$, $\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 3$. Khi đó, $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A. $\frac{{11}}{7}$. B.$ – \frac{5}{7}$. C. $\frac{6}{7}$. D. $\frac{{16}}{7}$.
Lời giải
Chọn B.
Đặt $a = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $, $b = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 1\\2a – b = – 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{5}{7}\\b = \frac{{11}}{7}\end{array} \right.$
Vậy $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \frac{5}{7}$.
Câu 8. Cho $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3$, $\int\limits_0^2 {f\left( {5x + 2} \right){\rm{d}}x} = 3$. Khi đó $\int\limits_1^{12} {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A. $18$. B. $12$. C. $6$. D. $10$.
Lời giải
Chọn A
Đặt $t = 5x + 2$$ \Rightarrow $${\rm{d}}t = 5{\rm{d}}x$, với $x = 0 \Rightarrow t = 2$; $x = 2 \Rightarrow t = 12$.
$ \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( {5x + 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{5}\int\limits_2^{12} {f\left( t \right){\rm{d}}t} $$ \Rightarrow \int\limits_2^{12} {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 5.\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 15$.
Vậy ta có $\int\limits_1^{12} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^{12} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 + 15 = 18$.
Câu 9. Cho $\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$, $\int\limits_2^{ – 1} {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3$. Khi đó $\int\limits_{ – 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng
A. $8$. B. $ – 8$. C. $2$. D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn A
Ta có : $\int\limits_2^{ – 1} {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 \Rightarrow \int\limits_{ – 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = – 3$.
$\int\limits_{ – 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int\limits_{ – 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 8$.
Câu 10. Cho hàm số $f\left( x \right)$có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right],\,\,f\left( { – 1} \right) = 3$ và$\int\limits_{ – 1}^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Tính $f\left( 3 \right)$.
A. $ – 13$. B.$13$. C. $ – 7$. D. $7$.
Lời giải
Chọn B
Ta có : $\int\limits_{ – 1}^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ – 1}^3 = f\left( 3 \right) – f\left( { – 1} \right) = 10 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 10 + f\left( { – 1} \right) = 13$.
Mức độ 3
Câu 1. Cho $\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$. Tính$\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + {{\sin }^{2021}}x} \right]{\rm{d}}x} $
A. $ – 1$. B. 2021. C.1. D. $ – 2021$.
Lời giải
Chọn C
Vì $y = {\sin ^{2021}}x$ là hàm số lẻ, xác định và liên tục trên $\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$nên $\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^{2021}}x{\rm{d}}x} = 0$.
$ \Rightarrow \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + {{\sin }^{2021}}x} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^{2021}}x{\rm{d}}x} = 1$.
Câu 2. Cho $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ là hai hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$ và $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ. Biết $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 5} $;$\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 7\,} $. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. $\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 10} $. B. $\int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 10} $.
C. $\int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 10} $. D. $\int\limits_{ – 1}^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 14} $.
Lời giải
Chọn D
Vì $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn nên $\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2} \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = 2.5$$ = 10$.
Vì $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ nên $\int\limits_{ – 1}^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 0} $.
$ \Rightarrow $$\int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 10} $ và $\int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 10} $.
Vậy đáp án D sai.
Câu 3. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { – 1\,;\,3} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2$ và $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 4$. Tính $\int\limits_{ – 1}^3 {f\left( {\left| x \right|} \right)\,} {\rm{d}}x$.
A. 6. B. 4. C. 8. D. 2.
Lời giải
Chọn C
Vì $f\left( {\left| x \right|} \right)$ là hàm chẵn nên $\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| x \right|} \right)\,} {\rm{d}}x = 2\int\limits_0^1 {f\left( {\left| x \right|} \right)\,} {\rm{d}}x = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 4$.
Ta có: $\int\limits_{ – 1}^3 {f\left( {\left| x \right|} \right)\,} {\rm{d}}x = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| x \right|} \right)\,} {\rm{d}}x\, + \int\limits_1^3 {f\left( {\left| x \right|} \right)\,} {\rm{d}}x$$ = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 4 + 4 = 8$.
Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, liên tục trên $\left[ { – 4;4} \right]$. Biết rằng $\int_{ – 2}^0 {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} = 2$ và $\int_1^2 {f\left( { – 2x} \right){\rm{d}}x} = 4$. Tính tích phân $I = \int_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
A.$ – 10$. B. $ – 10$. C.$6$. D. $ – 6$.
Lời giải
Chọn D
Vì $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ nên : $2 = \int_{ – 2}^0 {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} = – \int_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
Đặt $t = 2x \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x$.
Đổi cận: $x = 1 \Rightarrow t = 2,\,\,x = 2 \Rightarrow t = 4$.
$ \Rightarrow \int_1^2 {f\left( { – 2x} \right){\rm{d}}x} = – \int_1^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\int_2^4 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 4 \Rightarrow \int_2^4 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = – 8$.
$ \Rightarrow \int_2^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 8$.
Vậy $I = \int_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int_2^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2 – 8 = – 6$.
Câu 5. Cho hàm số $f\left( x \right)$có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$, thỏa $2f\left( x \right) + 3f\left( {1 – x} \right) = \sqrt {1 – {x^2}} $. Giá trị tích phân $\int_0^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng?
A. 0. B. 1. C.$\frac{1}{2}$. D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $2f\left( x \right) + 3f\left( {1 – x} \right) = \sqrt {1 – {x^2}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2f\left( 0 \right) + 3f\left( 1 \right) = 1\\2f\left( 1 \right) + 3f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = – \frac{2}{5}\\f\left( 1 \right) = \frac{3}{5}\end{array} \right.$.
Vậy: $\int_0^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 1$.
Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(0) = 3$ và $f(x) + f(2 – x) = {x^2} – 2x + 2,\forall x \in \mathbb{R}$. Tích phân $\int\limits_0^2 {xf'(x){\rm{d}}x} $ bằng
A. $\frac{{ – 4}}{3}$. B. $\frac{2}{3}$. C. $\frac{5}{3}$. D. $\frac{{ – 10}}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Thay $x = 0$ ta được $f(0) + f(2) = 2 \Rightarrow f(2) = 2 – f(0) = 2 – 3 = – 1$
Ta có: $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f(2 – x){\rm{d}}x} $
Từ hệ thức đề ra: $\int\limits_0^2 {\left( {f(x) + f(2 – x)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x + 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{8}{3} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = \frac{4}{3}.$
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có:
$\int\limits_0^2 {xf'(x){\rm{d}}x} = \left. {xf(x)} \right|_0^2 – \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = 2.( – 1) – \frac{4}{3} = – \frac{{10}}{3}.$
Câu 7. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 0$ và $\int\limits_0^1 {{x^{2018}}f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$. Giá trị của $\int\limits_0^1 {{x^{2019}}f’\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A. $ – \frac{2}{{2019}}$. B.$ – 4038$. C. $\frac{2}{{2019}}$. D.$4038$
Lời giải
Chọn B
Ta có: $I = \int\limits_0^1 {{x^{2019}}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \,\int\limits_0^1 {{x^{2019}}{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)} = \left. {{x^{2019}}f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {2019{x^{2018}}f\left( x \right){\rm{d}}x} $
$ = f\left( 1 \right) – 2019\int\limits_0^1 {{x^{2018}}f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = 0 – 2019.2 = – 4038$.
Câu 8. Cho $y = f\left( x \right)$, $y = \,g\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;2} \right]$ và $\int\limits_0^2 {g\left( x \right).f\prime \left( x \right){\rm{d}}x} = 2$, $\int\limits_0^2 {g\prime \left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x} $.
A.$I = – 1$. B.$I = 6$. C.$I = 5$. D. $I = 1$.
Lời giải
Chọn C
Xét tích phân $I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left[ {f’\left( x \right).g\left( x \right) + f\left( x \right).g’\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $
$ = \int\limits_0^2 {g\prime \left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {g\left( x \right).f\prime \left( x \right){\rm{d}}x} = 5$.
Câu 9. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = \frac{2}{{2x – 1}}$ và $f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( 1 \right) = 2$. Giá trị của biểu thức $f\left( { – 1} \right) + f\left( 3 \right)$ bằng
A. $4 + \ln 15$. B.$2 + \ln 15$. C. $3 + \ln 15$. D. $\ln 15$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\frac{2}{{2x – 1}}{\rm{d}}x = \int {\frac{{2.\frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {2x – 1} \right)}}{{2x – 1}}} } } = \ln \left| {2x – 1} \right| + c$.
+) Với $x < \frac{1}{2}$ từ giả thiết $\,f\left( 0 \right) = 1$ $ \Leftrightarrow {C_1} = 1$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln \left| {2x – 1} \right| + 1$.
+) Với $x > \frac{1}{2}$ từ giả thiết $\,f\left( 1 \right) = 2$ $ \Leftrightarrow {C_2} = 2$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln \left| {2x – 1} \right| + 2$.
$ + )\,\,f\left( 0 \right) = 1$$ \Leftrightarrow c = 1$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln \left| {2x – 1} \right| + 1$.
$\left\{ \begin{array}{l}f\left( { – 1} \right) = \ln 3 + 1\\f\left( 3 \right) = \ln 5 + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow f\left( { – 1} \right) + f\left( 3 \right) = 3 + \ln 15$.
Câu 10. Cho $\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 2019$; $4f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 2020$Tính $\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x} $
A. $\frac{1}{9}$. B. $3$. C. $\frac{1}{3}$ D. $1$.
Lời giải
Chọn A
Đặt$\left\{ \begin{array}{l}u = 1 + 3x\\{\rm{d}}v = f’\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 3{\rm{d}}x\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 2019\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 3x} \right).\left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {3.f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2019\\ \Leftrightarrow 4f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) – 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2019\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\end{array}$
Ta có: $\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ , biết $f’\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\ln x}}{x}{\rm{ khi }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}0\\4{\left( {x + 2} \right)^3}{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.$ và thoả mãn $f(1) = 0$, $f( – 1) = 1$. Tính $f(e) + f(0)$.
A. $33$. B.$\frac{{33}}{2}$. C.$\frac{{31}}{2}$. D.$31$.
Lời giải
Chọn B
Với $x > 0$ ta có $f(x) = \int {f'(x){\rm{d}}x} = \int {\frac{{\ln x}}{x}} {\rm{d}}x = \int {\ln x{\rm{d}}\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{2}{{\ln }^2}x + {C_1}} $
Do $f(1) = 0$ nên ${C_1} = 0$. Suy ra $f(x) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x$
Với $x \le 0$ ta có $f(x) = \int {f'(x){\rm{d}}x} = \int {4{{(x + 2)}^3}{\rm{d}}x} $$ = \smallint 4{(x + 2)^3}{\rm{d}}(x + 2) = {(x + 2)^4} + {C_2}$
Do $f( – 1) = 1$ nên ${C_2} = 0$. Suy ra $f(x) = {(x + 2)^4}$.
Vậy $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{\ln ^2}x{\rm{ khi }}x > 0\\{\left( {x + 2} \right)^4}{\rm{khi }}x \le 0\end{array} \right.$.
Khi đó $f(e) = \frac{1}{2};\,\,f(0) = 16 \Rightarrow f(e) + f(0) = \frac{{33}}{2}$
Câu 12. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$có đạo hàm $f’\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;5} \right]$và đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$trên đoạn $\left[ {0;5} \right]$ được cho như hình bên. Tìm mệnh đề đúng.
A.$f\left( 0 \right) = f\left( 5 \right) < f\left( 3 \right)$. B.$f\left( 3 \right) < f\left( 0 \right) = f\left( 5 \right)$.
C.$f\left( 3 \right) < f\left( 0 \right) < f\left( 5 \right)$. D.$f\left( 3 \right) < f\left( 5 \right) < f\left( 0 \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\int_3^5 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( 5 \right) – f\left( 3 \right) > 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > f\left( 3 \right)$ .
$\int_0^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( 3 \right) – f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) < f\left( 0 \right)$.
$\int_0^5 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( 5 \right) – f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) < f\left( 0 \right)$.
Vậy $f\left( 3 \right) < f\left( 5 \right) < f\left( 0 \right)$.
Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {3;7} \right]$ và thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {10 – x} \right)$với $\forall x \in \left[ {3;7} \right]$ và $\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4$. Tính $I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} $?
A.20. B. -20. C. 40. D. -40.
Lời giải
Chọn A
Đặt $t = 10 – x \Rightarrow {\rm{d}}t = – {\rm{d}}x$ . Đổi cận $x = 3 \Rightarrow t = 7,\,\,x = 7 \Rightarrow t = 3$ .
Khi đó $I = – \int_7^3 {\left( {10 – t} \right)f\left( {10 – t} \right){\rm{d}}t} = \int_3^7 {\left( {10 – t} \right)f\left( {10 – t} \right){\rm{d}}t} = \int_3^7 {\left( {10 – x} \right)f\left( {10 – x} \right){\rm{d}}x} $ .
Vì $f\left( x \right) = f\left( {10 – x} \right) \Rightarrow I = \int_3^7 {\left( {10 – x} \right)f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} $.
$ \Rightarrow I = 10.4 – I \Rightarrow I = 20$.
Câu 14. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$ và $\int\limits_0^2 {f\left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6$. Tính $I = \int\limits_0^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
A. $I = 16$. B. $I = 18$. C. $I = 8$. D. $I = 20$.
Lời giải
Chọn D
$A = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$, $B = \int\limits_0^2 {f\left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6$ đặt $t = 3x + 1 \Rightarrow dt = 3dx$.
Đổi cận : $\left\langle \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = 7\end{array} \right.$
Ta có: $B = \frac{1}{3}\int\limits_1^7 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 6 \Rightarrow \int\limits_1^7 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 18 \Rightarrow \int\limits_1^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x{\rm{ = 18}}} $.
Vậy $I = \int\limits_0^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 20$.
Câu 15. Biết $\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)} {\rm{d}}t = x\cos \left( {\pi x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$. Tính $f\left( 4 \right)$.
A. $1$. B. $ – \frac{1}{4}$. C. $ – 1$. D. $\frac{1}{4}$.
Lời giải
Chọn D
Đặt $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Rightarrow F’\left( x \right) = f\left( x \right)$. Ta có:
$\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)} {\rm{d}}t = x\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow \left. {F\left( t \right)} \right|_0^{{x^2}} = x\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow F\left( {{x^2}} \right) – F\left( 0 \right) = x\cos \left( {\pi x} \right)$.
Đạo hàm hai vế ta có:
$2xf\left( {{x^2}} \right) = \cos \left( {\pi x} \right) – \pi x\sin \left( {\pi x} \right)$.
Chọn $x = 2$$ \Rightarrow $$4f\left( 4 \right) = \cos \left( {2\pi } \right) – 2\pi .\sin \left( {2\pi } \right) \Leftrightarrow f\left( 4 \right) = \frac{1}{4}$.
Mức độ 4
Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 0$, $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 7$ và $\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}$. Tích phân $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A. $\frac{7}{5}$. B. $1$. C. $\frac{7}{4}$. D. $4$.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết: $\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}$$ \Rightarrow \int\limits_0^1 {3{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$.
Tính: $I = \int\limits_0^1 {3{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = 3{x^2}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = f’\left( x \right){\rm{d}}x\\v = {x^3}\end{array} \right.$.
Ta có:
$I = \int\limits_0^1 {3{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {{x^3}f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {{x^3}.f’\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = 1.f\left( 1 \right) – 0.f\left( 0 \right) – \int\limits_0^1 {{x^3}.f’\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = – \int\limits_0^1 {{x^3}.f’\left( x \right){\rm{d}}x} $.
Mà: $\int\limits_0^1 {3{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$$ \Rightarrow 1 = – \int\limits_0^1 {{x^3}.f’\left( x \right){\rm{d}}x} $
$ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^3}.f’\left( x \right){\rm{d}}x} = – 1$$ \Leftrightarrow 7\int\limits_0^1 {{x^3}.f’\left( x \right){\rm{d}}x} = – 7$$ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {7{x^3}.f’\left( x \right){\rm{d}}x} = – \int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} $, (theo giả thiết: $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 7$).
$ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {7{x^3}.f’\left( x \right){\rm{ + }}{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}} \right)} {\rm{d}}x = 0$$ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f’\left( x \right)\left[ {7{x^3}{\rm{ + }}\,f’\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = 0$
$ \Rightarrow 7{x^3}{\rm{ + }}\,f’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow f’\left( x \right) = – 7{x^3}$$ \Rightarrow f\left( x \right) = – \frac{7}{4}{x^4} + C$.
Với $f\left( 1 \right) = 0$$ \Rightarrow – \frac{7}{4}{.1^4} + C = 0$$ \Rightarrow C = \frac{7}{4}$.
Khi đó: $f\left( x \right) = – \frac{7}{4}{x^4} + \frac{7}{4}$.
Vậy: $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( { – \frac{7}{4}{x^4} + \frac{7}{4}} \right)} {\rm{d}}x$$ = \left. { – \frac{7}{4}\left( {\frac{{{x^5}}}{5} – x} \right)} \right|_0^1$$ = \frac{7}{5}$.
Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int\limits_0^3 {f(x){\rm{d}}x} = 8$ và $\int\limits_0^5 {f(x){\rm{d}}x} = 4$. Tính $\int\limits_{ – 1}^1 {f(\left| {4x – 1} \right|){\rm{d}}x} $
A. $\frac{9}{4}$. B. $\frac{{11}}{4}$. C. $3$. D. $6$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $\int\limits_{ – 1}^1 {f(\left| {4x – 1} \right|){\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 1}^{\frac{1}{4}} {f( – 4x + 1){\rm{d}}x} + \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f(4x – 1){\rm{d}}x} $.
Tính: $A = \int\limits_{ – 1}^{\frac{1}{4}} {f( – 4x + 1){\rm{d}}x} $. Đặt $t = – 4x + 1 \Rightarrow – \frac{1}{4}{\rm{d}}t = {\rm{d}}x$
$ \Rightarrow A = – \frac{1}{4}\int\limits_5^0 {f(t){\rm{d}}t} = \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {f(t){\rm{d}}t} = 1$
Tính: $B = \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f(4x – 1){\rm{d}}x} $. Đặt $t = 4x – 1 \Rightarrow \frac{1}{4}{\rm{d}}t = {\rm{d}}x$
$ \Rightarrow B = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f(t){\rm{d}}t} = 2$.
Vậy $\int\limits_{ – 1}^1 {f(\left| {4x – 1} \right|){\rm{d}}x} = A + B = 3$.
Câu 3. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên tập hợp $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int\limits_0^{\ln 3} {f\left( {{e^x} + 3} \right){\rm{d}}x} = 1$, $\int\limits_4^6 {\frac{{\left( {2x – 1} \right)f\left( x \right)}}{{x – 3}}{\rm{d}}x} = – 3$. Giá trị của $\int\limits_4^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
A. $10$. B. $ – 5$. C. $ – 4$. D. $12$.
Lời giải
Chọn C
Đặt ${I_1} = \int\limits_0^{\ln 3} {f\left( {{e^x} + 3} \right){\rm{d}}x} = 1$.
Đặt ${e^x} + 3 = t \Rightarrow {e^x} = t – 3 \Rightarrow {e^x}{\rm{d}}x = dt \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{{dt}}{{t – 3}}$
Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 4$, $x = \ln 3 \Rightarrow t = 6$.
Khi đó: ${I_1} = \int\limits_4^6 {\frac{{f\left( t \right){\rm{d}}t}}{{t – 3}}} = \int\limits_4^6 {\frac{{f\left( x \right){\rm{d}}x}}{{x – 3}}} = 1$.
Ta có $\int\limits_4^6 {\frac{{\left( {2x – 1} \right)f\left( x \right)}}{{x – 3}}{\rm{d}}x} = \int\limits_4^6 {\frac{{\left( {2x – 6} \right)f\left( x \right) + 5f\left( x \right)}}{{x – 3}}{\rm{d}}x} = 2\int\limits_4^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 5\int\limits_4^6 {\frac{{f\left( x \right)}}{{x – 3}}{\rm{d}}x} = – 3$.
$ \Rightarrow 2\int\limits_4^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 5 = – 3 \Rightarrow \int\limits_4^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 4$.
Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2\sqrt 2 f\left( x \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \frac{{2 – \pi }}{2}$. Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} $ bằng
A. $\frac{\pi }{4}$. B. $0$. C. $1$. D. $\frac{\pi }{2}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2{{\sin }^2}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {1 – \cos \left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 – \sin 2x} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} $
$ = \left. {\left( {x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$$ = \frac{{\pi – 2}}{2}$.
Do đó: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2\sqrt 2 f\left( x \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} $$ + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2{{\sin }^2}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} $$ = \frac{{2 – \pi }}{2} + \frac{{\pi – 2}}{2} = 0$
$ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2\sqrt 2 f\left( x \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) + 2{{\sin }^2}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 0$
$ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f\left( x \right) – \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]}^2}{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 0$
Suy ra $f\left( x \right) – \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 0$, hay $f\left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$.
Bởi vậy: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} $$ = \left. { – \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 0$.
Câu 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan \,x} \right)} {\rm{d}}x = 4$ và $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = 2$. Tính $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x$.
A. $I = 4$. B. $I = 3$. C.$I = 6$. D.$I = 2$.
Lời giải
Chọn C
Đặt $t = \tan \,x;{\rm{d}}t = \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right){\rm{d}}x;{\rm{d}}x = \frac{{{\rm{d}}t}}{{{t^2} + 1}}$ và đổi cận
Ta được $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan \,x} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2} + 1}}} {\rm{d}}t = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = 4;$
$I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = 4 + 2 = 6$.
Câu 6. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa $\int\limits_{ – 2}^2 {f\left( {\sqrt {{x^2} + 5} – x} \right){\rm{d}}x} = 1,$$\int\limits_1^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = 3.$ Tính $\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$
A. -15. B. -2. C. -13. D. 0.
Lời giải
Chọn C
Đặt: $t = \sqrt {{x^2} + 5} – x \Rightarrow x = \frac{{5 – {t^2}}}{{2t}} \Rightarrow {\rm{d}}x = – \left( {\frac{1}{2} + \frac{5}{{2{t^2}}}} \right){\rm{d}}t$.
Ta có: $1 = \int\limits_1^5 {f\left( t \right)} \left( {\frac{1}{2} + \frac{5}{{2{t^2}}}} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)} {\rm{d}}t + \frac{5}{2}\int\limits_1^5 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t} $
$ \Rightarrow \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)} {\rm{d}}t = 1 – \frac{5}{2}\int\limits_1^5 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t} = 1 – \frac{5}{2}.3 = – \frac{{13}}{2}$
$ \Rightarrow \int\limits_1^5 {f\left( t \right)} {\rm{d}}t = – 13$.
Câu 7. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 1$, $\,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} $ và $\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
A. $I = \frac{3}{5}$. B. $I = \frac{1}{4}$. C. $I = \frac{3}{4}$. D. $I = \frac{1}{5}$.
Lờigiải
Chọn B
Đặt $t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow {\rm{d}}x = 2t{\rm{d}}t$. Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 1 \Rightarrow t = 1$
Suy ra $\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^1 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} $$ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}$. Do đó $ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{5}$
Mặt khác $\int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \frac{1}{2} – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} $.
Suy ra $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2} – \frac{1}{5} = \frac{3}{{10}}$$ \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{5}$
Ta tính được $\int\limits_0^1 {{{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{9}{5}$.
Do đó $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x – 2\int\limits_0^1 {3{x^2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_0^1 {{{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = 0$$ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f’\left( x \right) – 3{x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = 0$
$ \Leftrightarrow f’\left( x \right) – 3{x^2} = 0$$ \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2}$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^3} + C$.
Vì $f\left( 1 \right) = 1$ nên $f\left( x \right) = {x^3}$
Vậy $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{x^3}{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}$.
Câu 8. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$, thỏa mãn $\int_0^\pi {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$. Giá trị tích phân $I = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2020}^x} + 1}}{\rm{d}}x} $ bằng?
A. $\frac{1}{{2020}}$. B.$\frac{1}{{{2^{2020}}}}$. C. ${2^{2020}}$. D.$2$.
Lờigiải
Chọn D
Đặt $t = – x \Rightarrow {\rm{d}}t = – {\rm{d}}x$ . Đổi cận $x = – \pi \Rightarrow t = \pi ,\,\,x = \pi \Rightarrow t = – \pi $.
$ \Rightarrow I = – \int_\pi ^{ – \pi } {\frac{{f\left( { – t} \right)}}{{{{2020}^{ – t}} + 1}}{\rm{d}}t} = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( t \right)}}{{{{2020}^{ – t}} + 1}}{\rm{d}}t} $ ( vì $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn nên $f\left( t \right) = f\left( { – t} \right)$).
$I = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{{{2020}^t}f\left( t \right)}}{{{{2020}^t} + 1}}{\rm{d}}t} = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{\left( {{{2020}^t} + 1 – 1} \right)f\left( t \right)}}{{{{2020}^t} + 1}}{\rm{d}}t} = \int_{ – \pi }^\pi {f\left( t \right){\rm{d}}t} – \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( t \right)}}{{{{2020}^t} + 1}}{\rm{d}}t} $
$2I = \int_{ – \pi }^\pi {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 2\int_0^\pi {f\left( t \right){\rm{d}}t} $( vì $y = f\left( t \right)$ là hàm số chẵn )
Vậy $I = \int_0^\pi {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 2$ .
Câu 9. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}}$; $f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}$ và $f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0$. Tính giá trị biểu thức $T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)$.
A. $\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}$. B. $\ln 80 + 1$. C. $\frac{1}{3}\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) + \ln 2 + 1$. D. $\frac{1}{3}\ln \left( {\frac{8}{5}} \right) + 1$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)$.
$I = f\left( { – 3} \right) – f\left( { – 4} \right) = \int\limits_{ – 4}^{ – 3} {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $ $ = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_{ – 4}^{ – 3} = \frac{1}{3}\ln \frac{8}{5}$.
$J = f\left( 0 \right) – f\left( { – 1} \right) = \int\limits_{ – 1}^0 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_{ – 1}^0 = – \frac{2}{3}\ln 2$.
$K = f\left( 4 \right) – f\left( 3 \right) = \int\limits_3^4 {f’\left( x \right)} {\rm{d}}x$$ = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_3^4 = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}$.
$ – I – J – K = f\left( { – 4} \right) – f\left( { – 3} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) – f\left( 4 \right)$
$ = \left[ {f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)} \right] – f\left( 0 \right) – \left[ {f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right)} \right]$.
$f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right) = – I – J – K + f\left( 0 \right) + \left[ {f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right)} \right]$.
$T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right) = – \frac{1}{3}\ln \frac{8}{5} + \frac{2}{3}\ln 2 – \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}$
Câu 10. Biết $I = \int_0^\pi {\frac{{x{{\sin }^{2020}}x}}{{{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x}}} {\rm{d}}x = \frac{{{\pi ^a}}}{b} + c,\,\,\left( {a,b,c \in {\mathbb{Z}^ + }} \right).$ Tính $P = a.b.c$
A. $4$. B.$0$. C. ${2^{2020}}$. D. ${4^{2020}}$.
Lời giải
Chọn B
Đặt $t = \pi – x \Rightarrow {\rm{d}}t = – {\rm{d}}x$. Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = \pi ,\,\,x = \pi \Rightarrow t = 0$.
$I = – \int_\pi ^0 {\frac{{\left( {\pi – t} \right){{\sin }^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t = \int_0^\pi {\frac{{\pi {{\sin }^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t – I \Rightarrow I = \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {\frac{{{{\sin }^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t$.
Đặt $u = \frac{\pi }{2} – t \Rightarrow {\rm{d}}u = – {\rm{d}}t$. Đổi cận $t = 0 \Rightarrow u = \frac{\pi }{2},\,\,t = \pi \Rightarrow u = – \frac{\pi }{2}$.
$I = \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {\frac{{{{\sin }^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t = \frac{\pi }{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}} {\rm{d}}u$
Vì $f\left( u \right) = \frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}$ là hàm số chẵn, liên tục trên $\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$
nên$I = \frac{\pi }{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}} {\rm{d}}u = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}} {\rm{d}}u$.
Xét $J = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{si{n^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t$ .
Ta có: $I + J = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{d}}t} = \frac{{{\pi ^2}}}{2}$ .
Mặt khác: $I = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}} {\rm{d}}u = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{si{n^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t = J$( dễ dàng suy ra được thông qua phép đổi biến $t = \frac{\pi }{2} – u$ ).
$ \Rightarrow I = J = \frac{{{\pi ^2}}}{4}$.
Vậy $abc = 0$ .
Câu 11. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Giá trị của biểu thức $I = \int\limits_0^4 {f’\left( {x – 2} \right){\rm{d}}x + } \int\limits_0^2 {f’\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $bằng
A. $ – 2$. B. $2$. C. $6$. D. $10$.
Lờigiải
Chọn C
Cách1:
Đặt ${I_1} = \int\limits_0^4 {f’\left( {x – 2} \right){\rm{d}}x} $, ${I_2} = \int\limits_0^2 {f’\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $.
Tính ${I_1}$: Đặt $u = x – 2 \Rightarrow {\rm{d}}u = {\rm{d}}x$.
Đổi cận:
Ta có: ${I_1} = \int\limits_{ – 2}^2 {f’\left( u \right){\rm{d}}u} = \int\limits_{ – 2}^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = f\left( x \right)\left| {_{ – 2}^{\,\,\,2}} \right. = f\left( 2 \right) – f\left( { – 2} \right) = 2 – \left( { – 2} \right) = 4$.
Tính ${I_2}$: Đặt $v = x + 2 \Rightarrow {\rm{d}}v = {\rm{d}}x$.
Đổi cận:
Ta có: ${I_2} = \int\limits_2^4 {f’\left( v \right){\rm{d}}v} = \int\limits_2^4 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = f\left( x \right)\left| {_2^4} \right. = f\left( 4 \right) – f\left( 2 \right) = 4 – 2 = 2$.
Vậy: $I = {I_1} + {I_2} = 4 + 2 = 6$.
Cách2:$I = \int\limits_0^4 {f’\left( {x – 2} \right){\rm{d}}x + } \int\limits_0^2 {f’\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^4 {f’\left( {x – 2} \right){\rm{d}}\left( {x – 2} \right) + } \int\limits_0^2 {f’\left( {x + 2} \right){\rm{d}}\left( {x + 2} \right)} $
$ = f\left( {x – 2} \right)\left| {_0^4} \right. + f\left( {x + 2} \right)\left| {_0^2} \right. = \left( {f\left( 2 \right) – f\left( { – 2} \right)} \right) + \left( {f\left( 4 \right) – f\left( 2 \right)} \right)$$ = \left( {2 – \left( { – 2} \right)} \right) + \left( {4 – 2} \right) = 6$.
Câu 12. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;\,1} \right]$ và $f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}$, $\forall x \in \left[ {0;\,1} \right]$.
Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
A. $\frac{3}{4} + \ln 2$. B. $\frac{3}{2} + 2\ln 2$. C. $\frac{3}{4} + 2\ln 2$. D. $3 + \ln 2$.
Lờigiải
Chọn A
Theo giả thiết, ta có: $f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}$, $\forall x \in \left[ {0;\,1} \right]$ và $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;\,1} \right]$ nên $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} $$ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} $ (1)
Đặt $1 – x = t$ thì ${\rm{d}}x = – {\rm{d}}t$, với $x = 0 \Rightarrow t = 1$, với $x = 1 \Rightarrow t = 0$
Do đó: $\int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = – \int\limits_1^0 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ (2).
Lại có $\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1 + \frac{2}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2} + 2\ln 2$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{2} + 2\ln 2 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{4} + \ln 2$.
Câu 13. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$có đạo hàm $f’\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$và thỏa mãn $f’\left( x \right) \in \left[ { – 1;1} \right]$với mọi
$x \in \left[ {0;2} \right]$. Biết rằng $f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 1$. Đặt$I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $, phát biểu nào dưới đây đúng?
A. $I \in \left( { – \infty ;0} \right]$. B. $I \in \left( {1; + \infty } \right)$. C. $I \in \left[ {1; + \infty } \right)$. D. $I \in \left( { – \infty ;0} \right)$.
Lờigiải
Chọn C
Ta có: $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
Xét $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right) \Rightarrow du = f’\left( x \right){\rm{d}}x\\dv = {\rm{d}}x \Rightarrow v = x – 1\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {x – 1} \right)f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int_0^1 {\left( {x – 1} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} $ .
$ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 + \int_0^1 {\left( {1 – x} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} \ge \int_0^1 {\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}$.
Xét $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right) \Rightarrow {\rm{d}}u = f’\left( x \right){\rm{d}}x\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x \Rightarrow v = x – 1\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {x – 1} \right)f\left( x \right)} \right|_1^2 – \int_1^2 {\left( {x – 1} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} $ .
$ \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 + \int_1^2 {\left( {1 – x} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} \ge \int_1^2 {\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}$.
Vậy $I \ge 1$ .
Câu 14. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$và thỏa mãn $\int_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = 0$và $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1$.Tích
phân $I = \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} $ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. $\left( { – \infty ; – \frac{5}{4}} \right)$. B. $\left( {\frac{3}{2};e – 1} \right)$. C. $\left( {e – 1; + \infty } \right)$. D.$\left( { – \frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right)$.
Lờigiải
Chọn D
Ta có: $0 = \int\limits_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = a\int\limits_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {axf\left( x \right){\rm{d}}x} ,$ với mọi $a \in \left[ {0;1} \right]$.
Với mọi $a \in \left[ {0;1} \right]$ ta có: $\left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right)dx} } \right| = \left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x – \int_0^1 {axf\left( x \right){\rm{d}}x} } } \right| = \left| {\int_0^1 {\left( {{e^x} – ax} \right)f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| \le \int_0^1 {\left| {{e^x} – ax} \right|.\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
$ \le \int_0^1 {\left| {{e^x} – ax} \right|.\mathop {Max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^1 {\left| {{e^x} – ax} \right|{\rm{d}}x} $.
Đặt $I\left( a \right) = \int_0^1 {\left( {{e^x} – ax} \right)} {\rm{d}}x$.
Suy ra $\left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| \le I\left( a \right),\,\,\,\,\forall a \in \left[ {0;1} \right]$$ \Rightarrow \left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| \le \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} I\left( a \right)$.
Mặt khác: $I\left( a \right) = \int_0^1 {\left( {{e^x} – ax} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {{e^x} – \frac{{a{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = e – \frac{a}{2} – 1,\,\,\,a \in \left[ {0;1} \right]$.
$\mathop { \Rightarrow Min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} I\left( a \right) = e – \frac{3}{2} \Rightarrow \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} \le \left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| \le e – \frac{3}{2} \approx 1,22$.
Vậy $I \in \left( { – \frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right)$ .
Câu 15. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục thỏa mãn $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$, $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}$ và $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos x\,f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}$. Tính $f\left( {2018\pi } \right)$.
A. $ – 1$. B. $0$. C. $\frac{1}{2}$. D. $1$.
Lời giải
Chọn D
Bằng công thức tích phân từng phần ta có:
$\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xf\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\left[ {\sin xf\left( x \right)} \right]} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi – \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin xf’\left( x \right){\rm{d}}x} $. Suy ra $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin xf’\left( x \right){\rm{d}}x} = – \frac{\pi }{4}$.
Hơn nữa ta tính được $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\sin }^2}x{\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{1 – \cos 2x}}{2}{\rm{d}}x} = \left. {\left[ {\frac{{2x – \sin 2x}}{4}} \right]} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = \frac{\pi }{4}$.
Do đó: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xf’\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x{\rm{d}}x} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f’\left( x \right) + \sin x} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 0$.
Suy ra $f’\left( x \right) = – \sin x$. Do đó $f\left( x \right) = \cos x + C$. Vì $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ nên $C = 0$.
Ta được $f\left( x \right) = \cos x$$ \Rightarrow f\left( {2018\pi } \right) = \cos \left( {2018\pi } \right) = 1$.
