Các dạng trắc nghiệm đúng sai biểu thức tọa độ các phép toán vectơ lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec a = \left( {1;2;3} \right),\,\,\vec b = \left( {3;6;9} \right).$
a) $\vec b – \vec a = \left( {2;4;6} \right)$
b) $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương
c) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 6 $
d) $ – \overrightarrow b = 3\overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 9\overrightarrow k $
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) $\vec b – \vec a = \left( {3 – 1;6 – 2;9 – 3} \right) = \left( {2;4;6} \right)$ nên a đúng.
b) Ta có: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}$$ \Rightarrow $$\vec a$ và $\vec b$ cùng phương nên b đúng.
c) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {14} $ nên c sai.
d) $ – \overrightarrow b = \left( { – 3; – 6; – 9} \right) = – 3\overrightarrow i – 6\overrightarrow j – 9\overrightarrow k $ nên d sai.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz,$ cho vectơ $\vec a = \left( {2; – 2; – 4} \right),\,\,\vec b = \left( {1; – 1;1} \right).$
a) $\vec a + \vec b = \left( {3; – 3; – 3} \right)$
b) $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương
c) $\left| {\vec b} \right| = \sqrt 3 $
d) $\vec a = 2\overrightarrow i – 2\overrightarrow j – 4\overrightarrow k $
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) $\vec a + \vec b = \left( {3; – 3; – 3} \right)$ đúng.
b) $\vec a = 2\left( {1; – 1; – 2} \right) \ne \vec b = \left( {1; – 1;1} \right)$. Suy ra $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương. Suy ra b sai.
c) $\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 $ đúng.
d) $\vec a = \left( {2; – 2; – 4} \right) = 2\overrightarrow i – 2\overrightarrow j – 4\overrightarrow k $ đúng.
Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = (2;1; – 2)$, $\vec b = (0; – 1;1)$.
a) $\left| {\vec a} \right| = 3$
b) $\vec a + \overrightarrow b = (2;0; – 1)$.
c) $\vec a.\overrightarrow b = – 1$
d) Góc giữa hai vectơ $\vec a,\vec b$ bằng ${60^\circ }$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) $\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( – 2)}^2}} = 3$ nên a đúng.
b) $\vec a + \overrightarrow b = (2 + 0;1 + ( – 1); – 2 + 1) = (2;0; – 1)$ nên b đúng.
c) $\vec a.\overrightarrow b = 2.0 + 1.( – 1) + ( – 2).1 = – 3$ nên c sai.
d) $cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.0 + 1.( – 1) + ( – 2).1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( – 2)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{( – 1)}^2} + {1^2}} }}$
$ = \frac{{ – 3}}{{3.\sqrt 2 }} = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^0}$ nên d sai.
Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\vec c = (3,4,0)$ và $\vec d = (1, – 2,2)$ .
a) $\left| {\vec c} \right| = 5$
b) $\vec c + \vec d = (4,2,2)$
c) $\vec c \cdot \vec d = 1$
d) Góc giữa hai vectơ $\vec c,\vec d$ bằng ${90^\circ }$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) $\left| {\vec c} \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5$ nên a đúng.
b) $\vec c + \vec d = (3 + 1,4 + ( – 2),0 + 2) = (4,2,2)$nên b đúng.
c) Tính tích vô hướng của $\vec c$ và $\vec d$:
$\vec c \cdot \vec d = 3.1 + 4.( – 2) + 0.2 = – 5$nên c sai.
d) Tính góc giữa hai vectơ $\vec c$ và $\vec d$:
$cos\left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow d } \right) = \frac{{\overrightarrow c .\overrightarrow d }}{{\left| {\overrightarrow c } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|}} = \frac{{3.1 + 4.( – 2) + 0.2}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( – 2)}^2} + {2^2}} }} = – \frac{1}{3}$
$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow d } \right) \approx {109^0}$ nên d sai.
Câu 5. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow {\,a\,} = \left( {2;\,3;\,1} \right)$, $\overrightarrow {\,b\,} = \left( { – 1;\,5;\,2} \right)$, $\overrightarrow {\,c\,} = \left( {4;\, – 1;\,3} \right)$ và $\overrightarrow {\,x\,} = \left( { – 3;\,22;\,5} \right)$.
a) $\left| {2\overrightarrow {\,a\,} } \right| = \sqrt {14} $.
b) $\left| {\overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} } \right| = \sqrt {74} $.
c) $3\overrightarrow {\,a\,} – 2\overrightarrow {\,c\,} = \left( { – 2;11; – 3} \right)$.
d) $\overrightarrow {\,x\,} = – 2\overrightarrow {\,a\,} – 3\overrightarrow {\,b\,} + \overrightarrow {\,c\,} $.
Lời giải
| a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) $2\overrightarrow a = \left( {4;6;2} \right)$
$ \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {\,a\,} } \right| = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {2^2}} = 2\sqrt {14} $ nên a sai.
b) $\overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} = \left( {1;8;3} \right)$
$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} } \right| = \sqrt {{1^2} + {8^2} + {3^2}} = \sqrt {74} $ nên b đúng.
c) $3\overrightarrow {\,a\,} – 2\overrightarrow {\,c\,} = \left( {6;9;3} \right) – \left( {8; – 2;6} \right) = \left( { – 2;11; – 3} \right)$ nên c đúng.
d) Đặt: $\overrightarrow {\,x\,} = m.\overrightarrow {\,a\,} + n.\overrightarrow {\,b\,} + p.\overrightarrow {\,c\,} $, $m,n,p \in \mathbb{R}$.
$ \Rightarrow \left( { – 3;\,22;\,5} \right) = m.\left( {2;\,3;\,1} \right) + n.\left( { – 1;\,5;\,2} \right) + p.\left( {4;\, – 1;\,3} \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
2m – n + 4p = – 3 \hfill \\
3m + 5n – p = 22 \hfill \\
m + 2n + 3p = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\left( I \right)$.
Giải hệ phương trình $\left( I \right)$ ta được: $\left\{ \begin{gathered}
m = 2 \hfill \\
n = 3 \hfill \\
p = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy $\overrightarrow {\,x\,} = 2\overrightarrow {\,a\,} + 3\overrightarrow {\,b\,} – \overrightarrow {\,c\,} $ nên d sai.
Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2; – 5;3} \right)$, $\vec b = \left( {0;2; – 1} \right)$, $\vec c = \left( {1;7;2} \right)$
a) $\vec u = 3\vec a – \vec b + 5\vec c$ với $\vec u = \left( {11;22;18} \right)$.
b) $\vec x = \frac{1}{2}\vec a – \frac{4}{3}\vec b – 2\vec c$ với $\vec x = \left( { – 1; – \frac{{115}}{6}; – \frac{7}{6}} \right)$.
c) $\overrightarrow {\,v\,} = \overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} $ với $\overrightarrow {\,v\,} = 2\overrightarrow i – 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k $.
d) $\overrightarrow {\,y\,} = \overrightarrow {\,b\,} – \overrightarrow {\,c\,} $ với $\overrightarrow {\,y\,} = – \overrightarrow i + 5\overrightarrow j – 3\overrightarrow k $.
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) $\vec u = 3\vec a – \vec b + 5\vec c$ với $\vec u = \left( {11;22;18} \right)$. Đúng
+ Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
3\vec a = \left( {6; – 15;9} \right) \hfill \\
\vec b = \left( {0; – 2;1} \right) \hfill \\
5\vec c = \left( {5;35;10} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow 3\vec a – \vec b + 5\vec c = \left( {11;22;18} \right) = \vec u$
b) $\vec x = \frac{1}{2}\vec a – \frac{4}{3}\vec b – 2\vec c$ với $\vec x = \left( { – 1; – \frac{{115}}{6}; – \frac{7}{6}} \right)$. Đúng
+ Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
\frac{1}{2}\vec a = \left( {1; – \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right) \hfill \\
\frac{4}{3}\vec b = \left( {0;\frac{8}{3}; – \frac{4}{3}} \right) \hfill \\
2\vec c = \left( {2;14;4} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow \frac{1}{2}\vec a – \frac{4}{3}\vec b – 2\vec c = \left( { – 1; – \frac{{115}}{6}; – \frac{7}{6}} \right) = \vec x$
c) $\overrightarrow {\,v\,} = \overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} $ với $\overrightarrow {\,v\,} = 2\overrightarrow i – 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k $. Đúng
$\overrightarrow {\,v\,} = \overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} \Rightarrow \overrightarrow {\,v\,} = \left( {2; – 3;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {\,v\,} = 2\overrightarrow i – 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k $
d) $\overrightarrow {\,y\,} = \overrightarrow {\,b\,} – \overrightarrow {\,c\,} $ với $\overrightarrow {\,y\,} = – \overrightarrow i + 5\overrightarrow j – 3\overrightarrow k $. Sai
$\overrightarrow {\,y\,} = \overrightarrow {\,b\,} – \overrightarrow {\,c\,} \Rightarrow \overrightarrow {\,y\,} = \left( { – 1; – 5; – 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {\,y\,} = – \overrightarrow i – 5\overrightarrow j – 3\overrightarrow k $
DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2\,;\,1\,\,;\, – 3} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { – 4\,;\, – 2\,\,;\,6} \right)$.
a) $\overrightarrow b = – 2\overrightarrow a $.
b) $\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = 0$.
c) $\overrightarrow a $ ngược hướng với $\overrightarrow b $.
d) $\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a)$\overrightarrow b = \left( { – 4\,;\, – 2\,\,;\,6} \right)$
$ – 2\overrightarrow a = ( – 4;2; – 6)$
$ \Rightarrow \overrightarrow b = – 2\overrightarrow a $ nên a đúng
b) $\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = 2.( – 4) + 1.( – 2) + ( – 3).6 = – 28$ nên b sai.
c) Ta có: $\frac{2}{{ – 4}} = \frac{1}{{ – 2}} = \frac{{ – 3}}{6} < 0$
$ \Rightarrow $$\overrightarrow a $ ngược hướng với $\overrightarrow b $ nên c đúng.
d) $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{( – 4)}^2} + {{( – 2)}^2} + {6^2}} = 2\sqrt {14} $
$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {14} \Rightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt {14} $
Suy ra $\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|$nên d đúng
Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = \left( {1; – 2;3} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {1;1; – 1} \right)$.
a) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2$.
b) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = – 4$.
c) $\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| = 5$.
d) $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $.
Lời giải
| a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 – 1} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = 3 \ne 2$ (Sai).
b) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.1 + \left( { – 2} \right).1 + 3.\left( { – 1} \right) = 1 – 2 – 3 = – 4$ (đúng).
c) $\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {1 – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2 – 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 16} = 5$ (đúng).
d) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.1 + \left( 2 \right)1 + 3.\left( { – 1} \right) = 0$ $ \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ (đúng).
Câu 9. Biết $\overrightarrow c \, = \,\left( {x;\,y;\,z} \right)$ khác $\overrightarrow 0 $ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow a \, = \,\left( {1\,;\,3\,;\,4} \right)\,,\,\overrightarrow b = \,\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$.
a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 15$.
b) $\left| {\overrightarrow a \,} \right| = \,5$.
c) ${\overrightarrow b ^2} = 14$.
d) $7\,x\, + \,y\, = \,0$.
Lời giải
| a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.( – 1) + 3.2 + 4.3 = 17$ nên a sai.
b) $\left| {\overrightarrow a \,} \right| = \,\sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {26} $ nên b sai.
c) ${\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {( – 1)^2} + {2^2} + {3^2} = 14$ nên c đúng.
d) Theo giả thiết ta có $\overrightarrow c \, = \,\left( {x;\,y;\,z} \right)$ khác $\overrightarrow 0 $ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow a \, = \,\left( {1\,;\,3\,;\,4} \right)\,,\,\overrightarrow b = \,\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$ nên
$\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow c \,\,.\,\,\overrightarrow a \, = \,0 \hfill \\
\overrightarrow c \,\,.\,\,\overrightarrow b = \,0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{gathered}
1\,x + 3\,y + 4\,z\, = \,0 \hfill \\
– 1\,x + 2\,y + 3\,z\, = \,0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\,$
$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{gathered}
1\,x + 3\,y + 4\,z\, = \,0 \hfill \\
5\,y\, + 7\,z = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\,$$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{gathered}
1\,x + 3\,y + 4\,.\,\frac{{ – 5}}{7}\,y = 0 \hfill \\
z = \frac{{ – 5}}{7}\,y \hfill \\
\end{gathered} \right.\,$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{gathered}
7\,x + \,y\, = \,0 \hfill \\
5\,y\, + 7\,z = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Câu 10. Trong Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(0;0;3)$, $B(0;0; – 1)$, $C(1;0; – 1)$, $D(0;1; – 1)$.
a) $AB \bot BD$.
b) $AB \bot BC$.
c) $AB \bot AC$.
d) $AB \bot CD$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (0;0; – 4),\overrightarrow {AC} = (1;0; – 4) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 16 \ne 0 \Rightarrow AB$ và $AC$ không vuông góc.
Làm tương tự ta có:
b) $AB \bot BC$. Sai
c) $AB \bot AC$. đúng
d) $AB \bot CD$. đúng
DẠNG 3: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG-TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $A B C$ với $A(1 ;-3 ; 3)$; $B(2 ;-4 ; 5), C(a ;-2 ; b)$ nhận điểm $G(1 ; c ; 3)$ làm trọng tâm của nó.
a) Nếu $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì tọa độ điểm là $M\left( {\frac{3}{2}; – \frac{7}{2};4} \right)$.
b) Tọa độ vectơ là $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow i – \overrightarrow j – 2\overrightarrow k $
c) $2024a + 2025b = 2025$
d) $a + b + c = – 2$
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên $M\left( {\frac{3}{2}; – \frac{7}{2};4} \right)$ nên a đúng.
b) Tọa độ vectơ là $\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 1;2} \right) = \overrightarrow i – \overrightarrow j + 2\overrightarrow k $ nên b sai.
c) làm trọng tâm tam giác nên
$G(1;c;3)$ làm trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 = \frac{{1 + 2 + a}}{3}} \\
{c = \frac{{ – 3 – 4 – 2}}{3}} \\
{3 = \frac{{3 + 5 + b}}{3}}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 0} \\
{b = 1} \\
{c = – 3}
\end{array}} \right.$
Vậy $2024a + 2025b = 2025$ nên c đúng.
d) $a + b + c = – 2$ nên d đúng.
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm $A(0;1; – 2)$ và $B(3; – 1;1)$. Tọa độ điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} $.
a) $\overrightarrow {AB} = \left( {3; – 2;3} \right)$.
b) $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 4$.
c) Trung điểm đoạn $AB$ là $I\left( {\frac{3}{2};0; – \frac{1}{2}} \right)$ .
d) $x + y + z = 11$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) $\overrightarrow {AB} = \left( {3 – 0; – 1 – 1;1 – ( – 2)} \right) = \left( {3; – 2;3} \right)$ nên a đúng.
b) $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{( – 2)}^2} + {3^2}} = \sqrt {22} $ nên b sai.
c) Trung điểm đoạn $AB$ là $I\left( {\frac{3}{2};0; – \frac{1}{2}} \right)$ nên c đúng.
d) Gọi $M(x;y;z)$. Ta có: $\overrightarrow {AM} = (x;y – 1;z + 2);\overrightarrow {AB} = (3; – 2;3)$. $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 9} \\
{y – 1 = – 6} \\
{z + 2 = 9}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 9} \\
{y = – 5.} \\
{z = 7}
\end{array}} \right.$
Vậy $x + y + z = 11$ nên d đúng.
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;3;0),D'(0;3; – 3)$. Toạ độ trọng tâm tam giác ${A^\prime }{B^\prime }C$ là $G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)$.
a) Điểm $C\left( {3;3;0} \right)$.
b) Điểm $A'(0;0; – 3)$.
c) $OB’ = 3$.
d) ${x_G} – 2{y_G} – 3{z_G} = – 6$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (3;0;0)$. Gọi $C(x,y;z) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = (x;y – 3;z)$
$ABCD$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow (x;y;z) = (3;3;0)$
$ \Rightarrow C(3;3;0)$ nên a đúng.
b) Ta có $\overrightarrow {AD} = (0;3;0)$. Gọi ${A^\prime }\left( {{x^\prime };{y^\prime };{z^\prime }} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }} = \left( { – {x^\prime };3 – {y^\prime }; – 3 – {z^\prime }} \right)$
$AD{D^\prime }{A^\prime }$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }} \Rightarrow \left( {{x^\prime };{y^\prime };{z^\prime }} \right) = (0;0; – 3)$
$ \Rightarrow {A^\prime }(0;0; – 3)$ nên b đúng.
c) Goi ${B^\prime }\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} = \left( {{x_0};{y_0};{z_0} + 3} \right)$
$AB{B^\prime }{A^\prime }$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} $$ \Rightarrow \left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) = (3;0; – 3) \Rightarrow {B^\prime }(3;0; – 3)$
$ \Rightarrow {B^\prime }(3;0; – 3)$$ \Rightarrow OB’ = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {{( – 3)}^2}} = 3\sqrt 2 $ nên c sai.
d) $G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_G} = \frac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2} \\
{{y_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1} \\
{{z_G} = \frac{{ – 3 – 3 + 0}}{3} = – 2}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow G(2;1; – 2)$.
Suy ra, ${x_G} – 2{y_G} – 3{z_G} = 6$ nên d sai.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2; – 1),B(2; – 1;3)$ , $C( – 4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là $D(a;b;c)$.
a) $\overrightarrow {CB} = \left( {6; – 8; – 2} \right)$.
b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3$.
c) Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left( { – \frac{1}{2};4;\frac{7}{2}} \right)$
d) $a + b + c = 4$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) $\overrightarrow {CB} = \left( {2 – ( – 4); – 1 – 7;3 – 5} \right) = \left( {6; – 8; – 2} \right)$ nên a đúng.
b) $\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 3;4} \right)$ ; $\overrightarrow {AC} = \left( { – 5;5;6} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.( – 5) + ( – 3).5 + 4.6 = 4$ nên b sai
c) Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left( { – \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)$ nên c sai.
d) Ta có: $\overrightarrow {BA} = ( – 1; – 3;4) \Rightarrow |\overrightarrow {BA} | = \sqrt {26} ;\overrightarrow {BC} = ( – 6;8;2) \Rightarrow |\overrightarrow {BC} | = 2\sqrt {26} $.
Gọi $D$ là chân đường phân giác trong kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$
Suy ra: $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} \Rightarrow \overrightarrow {DC} = – 2\overrightarrow {DA} \Rightarrow D\left( { – \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)$.
Do đó, $a + b + c = 4$ nên d đúng.
