Các dạng bài tập về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 8 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
I. PHƯƠNG PHÁP
1. Khoảng biến thiên
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Trong đó các tần số ${m_1} > 0,{m_k} > 0$ và $n = {m_1} + … + {m_k}$ là cỡ mẫu.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là$R = {a_{k + 1}} – {a_1}$
Ý nghĩa
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.
Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm.
Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
2. Khoảng tứ phân vị
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}$
Chú ý:
- Tứ phân vị thứ $r$ là : ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$
Trong đó: $\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $r = 1,2,3$.
- Nếu tứ phân vị thứ $k$ là $\frac{1}{2}\left(x_m+x_{m+1}\right)$, trong đó $x_m$ và $x_{m+1}$ thuộc hai nhóm liên tiếp, ví dụ như $x_m \in\left[u_{j-1} ; u_{j}\right )$ và $x_{m+1} \in\left[u_j ; u_{j+1}\right)$ thì ta lấy $Q_k=u_j$.
- Phần tử $x$ trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu $x>Q_3+1,5 \Delta_Q$ hoặc $x<Q_1-1,5 \Delta_Q$.
Ý nghĩa
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.
Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm.
Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Nhận xét: Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi cá giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường.
II. CÁC VÍ DỤ
Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
| Nhóm | [0; 10) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) |
| Tần số | 4 | 7 | 2 | 9 |
Hãy tìm các tứ phân vị ${Q_1}$ và ${Q_3}$.
Lời giải
Cỡ mẫu $n = 4 + 7 + 2 + 9 = 22$
Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{22}}$ là các giá trị được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: ${x_1};…;{x_4} \in $[0; 10), ${x_5};…;{x_{11}} \in $[10; 20), ${x_{12}};{x_{13}} \in $[20; 30), ${x_{14}};…;{x_{22}} \in $[30; 40).
- Tính $Q_1$
Xem cách tính nhanh Q1 và Q3 tại đây
Ta có: $\frac{{n + 1}}{4} = \frac{{22 + 1}}{4} = 5,75$$ \Rightarrow {Q_1} = {x_6} \in $[10; 20)$ \Rightarrow p = 2$
Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$
Ta có: ${Q_1} = {a_2} + \frac{{\frac{n}{4} – \left( {{m_1}} \right)}}{{{m_2}}}\left( {{a_3} – {a_2}} \right)$
$ = 10 + \frac{{\frac{{22}}{4} – \left( 4 \right)}}{7}\left( {20 – 10} \right) = \frac{{85}}{7}$
- Tính $Q_3$
Ta có: $\frac{{3\left( {n + 1} \right)}}{4} = \frac{{3\left( {22 + 1} \right)}}{4} = 17,25$
$ \Rightarrow {Q_3} = {x_{17}} \in $[30; 40)$ \Rightarrow p = 4$
Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$
Ta có: ${Q_3} = {a_4} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)}}{{{m_4}}}\left( {{a_5} – {a_4}} \right)$
$ = 30 + \frac{{\frac{{3.22}}{4} – \left( {4 + 7 + 2} \right)}}{9}\left( {40 – 30} \right) = \frac{{305}}{9}$
Câu 2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
| Nhóm | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) |
| Tần số | 8 | 10 | 11 | 8 | 3 |
Hãy tìm các tứ phân vị ${Q_1}$ và ${Q_3}$.
Lời giải
Cở mẫu $n = 8 + 10 + 11 + 8 + 3 = 40$
Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{40}}$ là các giá trị được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: ${x_1};…;{x_8} \in $[0; 5), ${x_9};…;{x_{18}} \in $[5; 10), ${x_{19}};{x_{29}} \in $[10; 15), ${x_{30}};…;{x_{37}} \in $[15; 20), ${x_{38}};…;{x_{40}} \in $[20; 25).
- Tính $Q_1$
Ta có: $\frac{{n + 1}}{4} = \frac{{40 + 1}}{4} = 10,25$
$ \Rightarrow {Q_1} = \frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2} \in $[5; 10)$ \Rightarrow p = 2$
Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$
Ta có: ${Q_1} = {a_2} + \frac{{\frac{n}{4} – \left( {{m_1}} \right)}}{{{m_2}}}\left( {{a_3} – {a_2}} \right)$
${Q_1} = 5 + \frac{{\frac{{40}}{4} – \left( 8 \right)}}{{10}}\left( {10 – 5} \right) = 6$
- Tính $Q_3$
Ta có: $\frac{{3\left( {40 + 1} \right)}}{4} = \frac{{3\left( {40 + 1} \right)}}{4} = 30,75$
$ \Rightarrow {Q_3} = \frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2} \in $[15; 20)$ \Rightarrow p = 4$
Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$
Ta có ${Q_3} = {a_4} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)}}{{{m_4}}}\left( {{a_5} – {a_4}} \right)$
${Q_3} = 15 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} – \left( {8 + 10 + 11} \right)}}{8}\left( {20 – 15} \right) = \frac{{125}}{8} = 15,625$
Câu 3. Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2024 của một số hộ gia đình ở thành phố Nha Trang được ghi lại ở bảng sau:
| Tổng thu nhập (triệu đồng) | [200; 250) | [250; 300) | [300; 350) | [350; 400) | [400; 450) |
| Số hộ gia đình | 24 | 62 | 34 | 21 | 9 |
a) Hãy tìm các tứ phân vị ${Q_1}$ và ${Q_3}$.
b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với mức thu nhập của tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?
Lời giải
a) Số hộ gia đình được khảo sát (cỡ mẫu) là n = 24 + 62 + 34 + 21 + 9 = 150.
Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{150}}$ là tổng thu nhập trong năm 2024 của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
${x_1};…;{x_{24}} \in \left[ {200;250} \right)$, ${x_{25}};…;{x_{86}} \in \left[ {300;350} \right)$, ${x_{87}};…;{x_{120}} \in \left[ {300;350} \right)$, ${x_{121}};…;{x_{141}} \in \left[ {350;400} \right)$, ${x_{142}};…;{x_{150}} \in \left[ {400;450} \right)$.
Do đó, đối với dãy số liệu ${x_1};{x_2};…;{x_{150}}$ thì
* Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là ${x_{38}} \in \left[ {250;300} \right)$. Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} – 24}}{{62}}\left( {300 – 250} \right) = \frac{{16175}}{{62}}$
* Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là ${x_{113}} \in \left[ {300;350} \right)$. Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
${Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} – \left( {24 + 62} \right)}}{{34}}\left( {350 – 300} \right) = \frac{{11525}}{{34}}$
b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng:
$\left[ {{Q_1};{Q_3}} \right) = \left[ {\frac{{16175}}{{62}};\frac{{11525}}{{34}}} \right) = \left[ {260,89;338,97} \right)$ (triệu đồng).
Câu 4. Kết quả đo chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được cho ở bảng sau:
| Chiều cao (m) | [8,4; 8,6) | [8,6; 8,8) | [8,8; 9,0) | [9,0; 9,2) | [9,2; 9,4) |
| Số cây | 5 | 12 | 25 | 44 | 14 |
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Trong 100 cây keo trên có 1 cây cao 8,4 m. Hỏi chiều cao của cây keo này có phải là giá trị ngoại lệ không?
Lời giải
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:
R = 9,4 – 8,4 = 1 (m).
Cỡ mẫu n = 100.
Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{100}}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${x_1};…;{x_5} \in $ [8,4; 8,6), ${x_6};…;{x_{17}} \in $ [8,6; 8,8), ${x_{18}};…;{x_{42}} \in $ [8,8; 9,0), ${x_{43}};…;{x_{86}} \in $ [9,0; 9,2), ${x_{87}};…;{x_{100}} \in $ [9,2; 9,4).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2} \in $ [8,8; 9,0). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_1} = 8,8 + \frac{{\frac{{100}}{4} – \left( {5 + 12} \right)}}{{25}}\left( {9,0 – 8,8} \right) = 8,864$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2} \in $ [9,0; 9,2).
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} – \left( {5 + 12 + 25} \right)}}{{44}}\left( {9,2 – 9,0} \right) = 9,15$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 9,15 – 8,864 = 0,286$
b) Trong 100 cây keo trên có 1 cây cao 8,4 m thuộc nhóm [8,4; 8,6).
Vì Q1 – 1,5∆Q = 8,864 – 1,5 ∙ 0,286 = 8,435 > 8,4 nên chiều cao của cây keo cao 8,4 m là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.
Câu 5. Bạn Trang thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau:
| Chiều cao (cm) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) | [170; 175) | [175; 180) | [180; 185) |
| Số học sinh nữ lớp 12C | 2 | 7 | 12 | 3 | 0 | 1 |
| Số học sinh nữ lớp 12D | 5 | 9 | 8 | 2 | 1 | 0 |
a) Sử dụng khoảng biến thiên, hãy cho biết chiều cao của học sinh nữ lớp nào có độ phân tán lớn hơn.
b) Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh nữ lớp lớp 12C và 12D .
Lời giải
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là: 185 – 155 = 30 (cm).
Trong mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D, khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [155; 160) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [175; 180).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D là: 180 – 155 = 25 (cm).
Vậy nếu căn cứ theo khoảng biến thiên thì chiều cao của học sinh nữ lớp 12C có độ phân tán lớn hơn lớp 12D.
b)
• Lớp 12C:
Cỡ mẫu n = 2 + 7 + 12 + 3 + 0 + 1 = 25.
Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{25}}$là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 25 học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
${x_1};{x_2} \in \left[ {155;160} \right)$, ${x_3};…;{x_9} \in \left[ {160;165} \right)$, ${x_{10}};…;{x_{21}} \in \left[ {165;170} \right)$, ${x_{22}};{x_{23}};{x_{24}} \in \left[ {170;175} \right)$, ${x_{25}} \in \left[ {180;185} \right)$
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} \in \left[ {160;165} \right)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} – 2}}{7}\left( {165 – 160} \right) = \frac{{4565}}{{28}}$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2} \in \left[ {165;170} \right)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} – \left( {2 + 7} \right)}}{{12}}\left( {170 – 165} \right) = \frac{{2705}}{{16}}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là:
${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{2705}}{{16}} – \frac{{4565}}{{28}} \approx 6,03$
• Lớp 12D:
ỡ mẫu n‘ = 5 + 9 + 8 + 2 + 1 = 25.
Gọi y1; y2; …; y25 là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 25 học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${y_1};…;{y_5} \in $ [155; 160), ${y_6};…;{y_{14}} \in $ [160; 165), ${y_{15}};…;{y_{22}} \in $ [165; 170), ${y_{23}};{y_{24}} \in $ [170; 175), ${y_{25}} \in $ [175; 180).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{y_6} + {y_7}}}{2} \in $ [160; 165). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_{_1}’ = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} – 5}}{9}\left( {165 – 160} \right) = \frac{{5785}}{{36}}$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{y_{19}} + {y_{20}}}}{2} \in $ [165; 170). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_3′ = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} – \left( {5 + 9} \right)}}{8}\left( {170 – 165} \right) = \frac{{5395}}{{32}}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D là:
$\Delta _{_Q}’ = Q_{_3}’ – Q_{_1}’ = \frac{{5375}}{{32}} – \frac{{5785}}{{36}} \approx 7,27$
Ta có ${\Delta _Q} \approx 6,03 < \Delta _{_Q}’ \approx 7,27$
Câu 6. Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:
| Tuổi kết hôn | [19; 22) | [22; 25) | [25; 28) | [28; 31) | [31; 34) |
| Số phụ nữ khu vực A | 10 | 27 | 31 | 25 | 7 |
| Số phụ nữ khu vực B | 47 | 40 | 11 | 2 | 0 |
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực A và B.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?
Lời giải
a)
• Khu vực A:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là:
R = 34 – 19 = 15.
Cỡ mẫu n = 10 + 27 + 31 + 25 + 7 = 100.
Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{100}}$là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${x_1};…;{x_{10}} \in $ [19; 22),
${x_{11}};…;{x_{37}} \in $ [22; 25),
${x_{38}};…;{x_{68}} \in $ [25; 28),
${x_{69}};…;{x_{93}} \in $ [28; 31),
${x_{94}};…;{x_{100}} \in $ [31; 34).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2} \in $ [22; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} – 10}}{{27}}\left( {25 – 22} \right) = \frac{{71}}{3}$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2} \in $ [28; 31). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} – \left( {10 + 27 + 31} \right)}}{{25}}\left( {31 – 28} \right) = \frac{{721}}{{25}}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực A là:
${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{721}}{{25}} – \frac{{71}}{3} \approx 5,17$
• Khu vực B:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là:
R‘ = 31 – 19 = 12.
Cỡ mẫu n‘ = 47 + 40 + 11 + 2 = 100.
Gọi y1; y2; …; y100 là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${y_1};…;{y_{47}} \in $ [19; 22),
${y_{48}};…;{y_{87}} \in $ [22; 25),
${y_{88}};…;{y_{98}} \in $ [25; 28),
${y_{99}};{y_{100}} \in $ [28; 31).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{y_{25}} + {y_{26}}}}{2} \in $ [19; 22). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_{_1}’ = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}\left( {22 – 19} \right) = \frac{{968}}{{47}}$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{y_{75}} + {y_{76}}}}{2} \in $ [22; 25). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_{_3}’ = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} – 47}}{{40}}\left( {25 – 22} \right) = \frac{{241}}{{10}}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực B là:
$\Delta _{_Q}’ = Q_{_3}’ – Q_{_1}’ = \frac{{241}}{{10}} – \frac{{968}}{{47}} \approx 3,5$
Vì ${\Delta _Q} \approx 5,17 > \Delta _{_Q}’ \approx 3,5$ nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn.
Câu 7. Bảng sau thống kê tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau.
| 341,4 | 187,1 | 242,2 | 522,9 | 251,4 |
| 432,2 | 200,7 | 388,6 | 258,4 | 288,5 |
| 298,1 | 413,5 | 413,5 | 332 | 421 |
| 475 | 400 | 305 | 520 | 147 |
a) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Hãy chia mẫu số liệu trên thành 4 nhóm với nhóm đầu tiên là [140; 240) và lập bảng tần số ghép nhóm.
c) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và so sánh với kết quả tương ứng thu được ở câu a).
Lời giải
a) Sắp xếp lại mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:
147 187,1 200,7 242,2 251,4
258,4 288,5 298,1 305 332
341,4 388,6 400 413,5 413,5
421 432,2 475 520 522,9
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:
R = 522,9 – 147 = 375,9 (mm).
Cỡ mẫu n = 20.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:
147; 187,1; 200,7; 242,2; 251,4; 258,4 ; 288,5; 298,1; 305 ; 332.
Do đó, ${Q_1} = \frac{{251,4 + 258,4}}{2} = 254,9$
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:
341,4; 388,6 ; 400; 413,5; 413,5 ; 421; 432,2; 475; 520; 522,9.
Do đó, ${Q_3} = \frac{{413,5 + 421}}{2} = 417,25$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là:
${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 417,25 – 254,9 = 162,35$
∆Q = Q3 – Q1 = 417,25 – 254,9 = 162,35.
b) Nhóm đầu tiên là [140; 240), ta chọn 3 nhóm còn lại là
[240; 340), [340; 440), [440; 540).
Từ bảng thống kê ban đầu, ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:
| Lượng mưa (mm) | [140; 240) | [240; 340) | [340; 440) | [440; 540) |
| Số tháng | 3 | 7 | 7 | 3 |
c) Cỡ mẫu n = 20.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là
R‘ = 540 – 140 = 400 (mm).
Gọi x1; x2; …; x20 là mẫu số liệu gốc về lượng mưa đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
${x_1};…;{x_3} \in $ [140; 240), ${x_4};…;{x_{10}} \in $ [240; 340), ${x_{11}};…;{x_{17}} \in $ [340; 440), ${x_{18}};…;{x_{20}} \in $ [440; 540).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2} \in $ [240; 340).
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_{_1}’ = 240 + \frac{{\frac{{20}}{4} – 3}}{7}\left( {340 – 240} \right) = \frac{{1880}}{7}$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2} \in $ [340; 440).
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_3′ = 340 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} – \left( {3 + 7} \right)}}{7}\left( {440 – 340} \right) = \frac{{2880}}{7}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\Delta _Q’ = Q_3′ – Q_1′ = \frac{{2880}}{7} – \frac{{1880}}{7} = 142,86$
Ta thấy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn mẫu số liệu đã cho; khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm nhỏ hơn mẫu số liệu đã cho.
Câu 8. Biểu đồ dưới đây thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng của Bác Bình và Bác An
a) Ai là người có thời gian tập đều hơn?
b) Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An.
Lời giải
Ta có bảng thống kê sau:
| Thời gian (phút) | [15; 20) | [20; 25) | [25; 30) | [30; 35) | [35; 40) |
| Số ngày tập của Bác Bình | 5 | 12 | 8 | 3 | 2 |
| Số ngày tập của Bác An | 0 | 25 | 5 | 0 | 0 |
a)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là 40 – 15 = 25 (phút).
Tuy nhiên, trong mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An, khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [20; 25) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [25; 30).
Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An là 30 – 20 = 10 (phút).
Nếu căn cứ theo khoảng biến thiên thì bác Bình có thời gian tập thể dục phân tán hơn bác An, vậy bác An là người có thời gian tập đều hơn.
b)Cỡ mẫu n = 30.
• Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình:
Gọi x1; x2; …; x30 là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${x_1};…;{x_5} \in $ [15; 20),
${x_6};…;{x_{17}} \in $ [20; 25), ${x_{18}};…;{x_{25}} \in $ [25; 30), ${x_{26}};…;{x_{28}} \in $ [30; 35), ${x_{29}};{x_{30}} \in $ [35; 40).
Tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu gốc là ${x_8} \in $ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4} – 5}}{{12}}\left( {25 – 20} \right) = \frac{{505}}{{24}}$
Tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu gốc là ${x_{23}} \in $ [25; 30). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
${Q_3} = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} – \left( {5 + 12} \right)}}{8}\left( {30 – 25} \right) = \frac{{455}}{{16}}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình là
${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{445}}{{16}} – \frac{{505}}{{24}} = \frac{{355}}{{48}} \approx 7,4$
• Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An:
Gọi y1; y2; …; y30 là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${y_1};…;{y_{25}} \in $ [20; 25), ${y_{26}};…;{y_{30}} \in $ [25; 30).
Tứ phân vị thứ nhất Q‘1 của mẫu số liệu gốc là ${y_8} \in $ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_{_1}’ = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}\left( {25 – 20} \right) = \frac{{43}}{2}$
Tứ phân vị thứ ba Q‘3 của mẫu số liệu gốc là ${y_{23}} \in $ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_{_3}’ = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}\left( {25 – 20} \right) = \frac{{49}}{2}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An là $\Delta _Q’ = Q_{_3}’ – Q_{_1}’ = \frac{{49}}{2} – \frac{{43}}{2} = 3$
Vì ${\Delta _Q} \approx 7,4 > \Delta _Q’ = 3$nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An.
Câu 9. Biểu đồ dưới đây biểu diễn số lượt khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2024 của một nhà hàng. Cột thứ nhất biểu diễn số ngày có từ 1 đến dưới 6 lượt đặt bàn; cột thứ hai biểu diễn số ngày có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn; …
Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên.
Lời giải
Từ biểu đồ đã cho, ta có có bảng thống kê sau:
| Số lượt đặt bàn | [1; 6) | [6; 11) | [11; 16) | [16; 21) | [21; 26) |
| Số ngày | 14 | 30 | 25 | 18 | 5 |
Cỡ mẫu n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92.
Gọi x1; x2; …; x92 là mẫu số liệu gốc về số lượt khách đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2022 của một nhà hàng được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${x_1};…;{x_{14}} \in $ [1; 6), ${x_{15}};…;{x_{44}} \in $ [6; 11), ${x_{45}};…;{x_{69}} \in $ [11; 16), ${x_{70}};…;{x_{87}} \in $ [16; 21), ${x_{88}};…;{x_{92}} \in $ [21; 26).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{23}} + {x_{24}}}}{2} \in $ [6; 11). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{92}}{4} – 14}}{{30}}\left( {11 – 6} \right) = 7,5$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{69}} + {x_{70}}}}{2}$.
Mà ${x_{69}} \in $ [11; 16) và ${x_{70}} \in $ [16; 21)
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là Q3 = 16.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
∆Q = Q3 – Q1 = 16 – 7,5 = 8,5
Câu 10. Hai bảng tần số ghép nhóm dưới đây thống kê theo độ tuổi số lượng thành viên nam và thành viên nữ đang sinh hoạt trong một câu lạc bộ dưỡng sinh.
a) Hãy tính các khoảng tứ phân vị của tuổi nam giới và nữ giới trong mỗi bảng số liệu ghép nhóm trên.
b) Hãy cho biết trong câu lạc bộ trên, nam giới hay nữ giới có tuổi đồng đều hơn.
Lời giải
a)
• Nam giới:
Cỡ mẫu n = 4 + 7 + 4 + 6 + 15 + 12 + 2 = 50.
Gọi x1; x2; …; x50 là mẫu số liệu gốc về tuổi của nam giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${x_1};…;{x_4} \in $ [50; 55), ${x_5};…;{x_{11}} \in $ [55; 60), ${x_{12}};…;{x_{15}} \in $ [60; 65), ${x_{16}};…;{x_{21}} \in $ [65; 70), ${x_{22}};…;{x_{36}} \in $ [70; 75),
${x_{37}};…;{x_{48}} \in $ [75; 80), ${x_{49}};{x_{50}} \in $ [80; 85).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{13}} \in $ [60; 65). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_1} = 60 + \frac{{\frac{{50}}{4} – \left( {4 + 7} \right)}}{4}\left( {65 – 60} \right) = 61,875$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{38}} \in $ [75; 80). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
${Q_3} = 75 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} – \left( {4 + 7 + 4 + 6 + 15} \right)}}{{12}}\left( {80 – 75} \right) = 75,625$.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của nam giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh là:
${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 75,625 – 61,875 = 13,75$
• Nữ giới:
Cỡ mẫu n‘ = 3 + 4 + 5 + 3 + 7 + 14 + 13 + 1 = 50.
Gọi ${y_1};…;{y_{50}}$là mẫu số liệu gốc về tuổi của nữ giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có
${y_1};…;{y_4} \in $ [50; 55), ${y_4};…;{y_7} \in $ [55; 60), ${y_8};…;{y_{12}} \in $ [60; 65), ${y_{13}};…;{y_{15}} \in $ [65; 70), ${y_{16}};…;{y_{22}} \in $ [70; 75),
${y_{23}};…;{y_{36}} \in $ [75; 80), ${y_{37}};…;{y_{49}} \in $ [80; 85), ${y_{50}} \in $ [85; 90).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_{13}} \in $ [65; 70). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_{_1}’ = 65 + \frac{{\frac{{50}}{4} – \left( {3 + 4 + 5} \right)}}{3}\left( {70 – 65} \right) = \frac{{395}}{6}$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{38}} \in $ [80; 85). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
$Q_3′ = 80 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} – \left( {3 + 4 + 5 + 3 + 7 + 14} \right)}}{{13}}\left( {85 – 80} \right) = \frac{{2095}}{{26}}$
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của nữ giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh là:
$\Delta _Q’ = Q_{_3}’ – Q_{_1}’ = \frac{{2095}}{{26}} – \frac{{395}}{6} \approx 14,74$
b) Ta có ∆‘Q ≈ 14,74 > ∆Q = 13,75 nên trong câu lạc bộ dưỡng sinh, nam giới có tuổi đồng đều hơn.
