Các dạng trắc nghiệm biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec u = \left( {1; – 4;0} \right)$ và $\vec v = \left( { – 1; – 2;1} \right)$. Vectơ $\vec u + 3\vec v$ có tọa độ là
A. $\left( { – 2; – 10;3} \right)$. B. $\left( { – 2; – 6;3} \right)$. C. $\left( { – 4; – 8;4} \right)$. D. $\left( { – 2; – 10; – 3} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $3\vec v = \left( { – 3; – 6;3} \right)$.
Do đó $\vec u + 3\vec v = \left( { – 2; – 10;3} \right)$.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec u = \left( {1;3; – 2} \right)$ và $\vec v = \left( {2;1; – 1} \right)$. Toạ độ vectơ $\vec u – \vec v$ là:
A. $\left( {3;4; – 3} \right)$. B. $\left( { – 1;2; – 3} \right)$. C. $\left( { – 1;2; – 1} \right)$. D. $\left( {1; – 2;1} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
$\vec u – \vec v = \left( { – 1;2; – 1} \right)$
Câu 3. Trong không gian $Oxyz$ cho $\vec a = \left( {2;3;2} \right)$ và $\vec b = \left( {1;1; – 1} \right)$. Vectơ $\vec a – \vec b$ có tọa độ là
A. $\left( {3;4;1} \right)$. B. $\left( { – 1; – 2;3} \right)$. C. $\left( {3;5;1} \right)$. D. $\left( {1;2;3} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\vec a – \vec b = \left( {2 – 1;3 – 1;2 + 1} \right) = \left( {1;2;3} \right)$.
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba vecto $\vec a\left( {1;2;3} \right);\vec b\left( {2;2; – 1} \right);\vec c\left( {4;0; – 4} \right)$. Tọa độ của vecto $\vec d = \vec a – \vec b + 2\vec c$ là
A. $\vec d\left( { – 7;0; – 4} \right)$ B. $\vec d\left( { – 7;0;4} \right)$ C. $\vec d\left( {7;0; – 4} \right)$ D. $\vec d\left( {7;0;4} \right)$
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\vec d = \vec a – \vec b + 2\vec c$
$ = \left( {1 – 2 + 2 \cdot 4;2 – 2 + 2 \cdot 0;3 + 1 + 2.\left( { – 4} \right)} \right) = \left( {7;0; – 4} \right)$.
Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2; – 3;3} \right),\vec b = \left( {0;2; – 1} \right)$, $\vec c = \left( {3; – 1;5} \right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a + 3\vec b – 2\vec c$.
A. $\left( {10; – 2;13} \right)$. B. $\left( { – 2;2; – 7} \right)$. C. $\left( { – 2; – 2;7} \right)$. D. $\left( { – 2;2;7} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $2\vec a = \left( {4; – 6;6} \right),3\vec b = \left( {0;6; – 3} \right), – 2\vec c = \left( { – 6;2; – 10} \right)$
$ \Rightarrow \vec u = 2\vec a + 3\vec b – 2\vec c = \left( { – 2;2; – 7} \right)$.
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2; – 3;3} \right),\vec b = \left( {0;2; – 1} \right),\vec c = \left( {3; – 1;5} \right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a + 3\vec b – 2\vec c$.
A. $\left( {10; – 2;13} \right)$. B. $\left( { – 2;2; – 7} \right)$. C. $\left( { – 2; – 2;7} \right)$. D. $\left( { – 2;2;7} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Có $2\vec a = \left( {4; – 6;6} \right);3\vec b = \left( {0;6; – 3} \right); – 2\vec c = \left( { – 6;2; – 10} \right)$.
Khi đó: $\vec u = 2\vec a + 3\vec b – 2\vec c = \left( { – 2;2; – 7} \right)$.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec x = \left( {2;1; – 3} \right)$ và $\vec y = \left( {1;0; – 1} \right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec a = \vec x + 2\vec y$.
A. $\vec a = \left( {4;1; – 1} \right)$. B. $\vec a = \left( {3;1; – 4} \right)$. C. $\vec a = \left( {0;1; – 1} \right)$. D. $\vec a = \left( {4;1; – 5} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $2\vec y = \left( {2;0; – 2} \right)$.
$\vec a = \vec x + 2\vec y = \left( {2 + 2;1 + 0; – 3 – 2} \right) = \left( {4;1; – 5} \right)$.
Câu 8. Trong không gian $Oxyz$ với $\vec i,\vec j,\vec k$ lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$. Tính tọa độ của vecto $\vec i + \vec j – \vec k$.
A. $\vec i + \vec j – \vec k = \left( { – 1; – 1;1} \right)$. B. $\vec i + \vec j – \vec k = \left( { – 1;1;1} \right)$. C. $\vec i + \vec j – \vec k = \left( {1;1; – 1} \right)$. D.
$\vec i + \vec j – \vec k = \left( {1; – 1;1} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\vec i = \left( {1;0;0} \right),\vec j = \left( {0;1;0} \right),\vec k = \left( {0;0;1} \right)$.
Do đó, $\vec i + \vec j – \vec k = \left( {1;1; – 1} \right)$.
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {1;2;1} \right)$ và $\vec b = \left( { – 1;3;0} \right)$. Vectơ $\vec c = 2\vec a + \vec b$ có tọa độ là
A. $\left( {1;7;2} \right)$. B. $\left( {1;5;2} \right)$. C. $\left( {3;7;2} \right)$. D. $\left( {1;7;3} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Có $\vec c = 2\vec a + \vec b$, gọi $\vec c = \left( {{c_1};{c_2};{c_3}} \right)$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{c_1} = 2.1 + \left( { – 1} \right) = 1} \\
{{c_2} = 2.2 + 3 = 7} \\
{{c_3} = 2.1 + 0 = 2}
\end{array}} \right.$
Vậy $\vec c = \left( {1;7;2} \right)$
Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho $\vec a\left( { – 2;2;0} \right),\vec b\left( {2;2;0} \right),\vec c\left( {2;2;2} \right)$. Giá trị của $\left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right|$ bằng
A. 6 . B. 11 . C. $2\sqrt {11} $. D. $2\sqrt 6 $.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\vec a + \vec b + \vec c = \left( {2;6;2} \right)$.
Vậy $\left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| = 2\sqrt {11} $.
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các vectơ $\vec a = \left( {2;m – 1;3} \right),\vec b = \left( {1;3; – 2n} \right)$. Tìm $m,n$ để các vectơ $\vec a,\vec b$ cùng hướng.
A. $m = 7;n = – \frac{3}{4}$. B. $m = 4;n = – 3$. C. $m = 1;n = 0$. D. $m = 7;n = – \frac{4}{3}$
Lời giải
Chọn A.
$\vec a$ và $\vec b$ cùng hướng $ \Leftrightarrow \vec a = k\vec b(k > 0)$.
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 = k} \\
{m – 1 = 3k} \\
{3 = k\left( { – 2n} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 2} \\
{m = 7} \\
{n = – \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy $m = 7;n = – \frac{3}{4}$
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho các véc tơ $\vec u = 2\vec i – 2\vec j + \vec k,\vec v = \left( {m;2;m + 1} \right)$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $\left| {\vec u\left| = \right|\vec v} \right|$.
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\vec u = \left( {2; – 2;1} \right)$
Khi đó $\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{2^2} + {{( – 2)}^2} + {1^2}} = 3$ và $\left| {\vec v} \right| = \sqrt {{m^2} + {2^2} + {{(m + 1)}^2}} = \sqrt {2{m^2} + 2m + 5} $
Do đó $\left| {\vec u\left| = \right|\vec v} \right| \Leftrightarrow 9 = 2{m^2} + 2m + 5 \Leftrightarrow {m^2} + m – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{m = – 2}
\end{array}} \right.$
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các vectơ $\vec a = \left( {2;m – 1;3} \right),\vec b = \left( {1;3; – 2n} \right)$. Tìm $m,n$ để các vectơ $\vec a,\vec b$ cùng phương.
A. $m = 7;n = – \frac{3}{4}$. B. $m = 7;n = – \frac{4}{3}$. C. $m = 4;n = – 3$. D. $m = 1;n = 0$.
Lời giải
Chọn A.
Các vectơ $\vec a,\vec b$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực dương $k$ sao cho $\vec a = k\vec b$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 = k} \\
{m – 1 = 3k} \\
{3 = k\left( { – 2n} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 = k} \\
{m – 1 = 6} \\
{3 = 2\left( { – 2n} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 = k} \\
{m = 7} \\
{n = \frac{{ – 3}}{4}}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Câu 14. Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( { – 1;2; – 3} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {x;y; – 2} \right)$ thẳng hàng. Khi đó $x + y$ bằng
A. $x + y = 1$. B. $x + y = 17$. C. $x + y = – \frac{{11}}{5}$. D. $x + y = \frac{{11}}{5}$.
Lời giải
Chọn A.
Có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 2;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {x + 1;y – 2;1} \right)$.
$A,B,C$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ cùng phương $ \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{1}{5}$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{3}{5}} \\
{y = \frac{8}{5}}
\end{array} \Rightarrow x + y = 1} \right.$.
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A\left( {2; – 1;5} \right),B\left( {5; – 5;7} \right),M\left( {x;y;1} \right)$ . Với giá trị nào của $x,y$ thì $A,B,M$ thẳng hàng.
A. $x = 4;y = 7$ B. $x = – 4;y = – 7$ C. $x = 4;y = – 7$ D. $x = – 4;y = 7$
Lời giải
Chọn A
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; – 4;2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x – 2;y + 1; – 4} \right)$
$A,B,M$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} $ cùng phương $ \Leftrightarrow \frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ – 4}} = \frac{{ – 4}}{2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 4} \\
{y = 7}
\end{array}} \right.$.
Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2; – 2;1} \right),B\left( {0;1;2} \right)$. Tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng là
A. $M\left( {4; – 5;0} \right)$. B. $M\left( {2; – 3;0} \right)$. C. $M\left( {0;0;1} \right)$. D. $M\left( {4;5;0} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow M\left( {x;y;0} \right);\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;3;1} \right);\overrightarrow {AM} = \left( {x – 2;y + 2; – 1} \right)$.
Để $A,B,M$ thẳng hàng thì $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AM} $ cùng phương, khi đó: $\frac{{x – 2}}{{ – 2}} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{ – 1}}{1} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4} \\
{y = – 5}
\end{array}} \right.$.
Vậy $M\left( {4; – 5;0} \right)$.
DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ $\vec u = \left( {3;0;1} \right)$ và $\vec v = \left( {2;1;0} \right)$. Tính tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v$.
A. $\vec u \cdot \vec v = 8$. B. $\vec u \cdot \vec v = 6$. C. $\vec u \cdot \vec v = 0$. D. $\vec u \cdot \vec v = – 6$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\vec u \cdot \vec v = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$.
Câu 18. Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $\vec u = \vec i + 3\vec j$ và $\vec v = \left( {2; – 1} \right)$. Tính $\vec u \cdot \vec v$.
A. $\vec u \cdot \vec v = – 1$. B. $\vec u \cdot \vec v = 1$. C. $\vec u \cdot \vec v = \left( {2; – 3} \right)$. D. $\vec u \cdot \vec v = 5\sqrt 2 $.
Lời giải
Chọn A.
Từ $\vec u = \vec i + 3\vec j \Rightarrow \vec u = \left( {1;3} \right)$.
Do đó, $\vec u \cdot \vec v = 1 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { – 1} \right) = – 1$.
Câu 19. Cho hai véc tơ $\vec a = \left( {1; – 2;3} \right),\vec b = \left( { – 2;1;2} \right)$. Khi đó, tích vô hướng $\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \vec b$ bằng
A. 12. B. 2. C. 11. D. 10 .
Lời giải
Chọn C.
$\vec a + \vec b = \left( { – 1; – 1;5} \right) \Rightarrow \left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \vec b$
$ = – 1 \cdot \left( { – 2} \right) + \left( { – 1} \right) \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 11$.
Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\vec u = \left( {2; – 1;1} \right)$ và $\vec v = \left( {0; – 3; – m} \right)$. Tìm số thực $m$ sao cho tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v = 1$.
A. $m = 4$. B. $m = 2$. C. $m = 3$. D. $m = – 2$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\vec u \cdot \vec v = 1 \Leftrightarrow 3 – m = 1 \Leftrightarrow m = 2$.
Câu 21. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ tạo với nhau một góc ${120^ \circ }$ và $\left| {\vec u} \right| = 2$ , $\left| {\vec v} \right| = 5$. Tính $\left| {\vec u + \vec v} \right|$
A. $\sqrt {19} $. B. -5 . C. 7 . D. $\sqrt {39} $.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $:{(\left| {\vec u + \vec v} \right|)^2} = {(\vec u + \vec v)^2} = {\vec u^2} + 2\vec u\vec v + {\vec v^2}$
$ = \left| {{{\vec u}^2}} \right| + 2\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|cos\left( {\vec u;\vec v} \right) + {\left| {\vec v} \right|^2}$
$ = {2^2} + 2.2.5 \cdot \left( { – \frac{1}{2}} \right) + {5^2} = 19$.
Suy ra $\left| {\vec u + \vec v} \right| = \sqrt {19} $.
Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec a = \left( {2;1;0} \right)$ và $\vec b = \left( { – 1;0; – 2} \right)$. Tính $cos\left( {\vec a,\vec b} \right)$.
A. $cos\left( {\vec a,\vec b} \right) = – \frac{2}{{25}}$ B. $cos\left( {\vec a,\vec b} \right) = – \frac{2}{5}$ C. $cos\left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{2}{{25}}$ D. $cos\left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{2}{5}$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $cos\left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right|}} = \frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }} = – \frac{2}{5}$.
Câu 23. Trong không gian $Oxyz$, góc giữa hai vectơ $\vec i$ và $\vec u = \left( { – \sqrt 3 ;0;1} \right)$ là
A. ${120^ \circ }$. B. ${60^ \circ }$. C. ${150^ \circ }$. D. ${30^ \circ }$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\vec i = \left( {1;0;0} \right)$.
Vậy: $cos\left( {\vec i,\vec u} \right) = \frac{{\vec i \cdot \vec u}}{{\left| {\vec i\left| \cdot \right|\vec u} \right|}} = \frac{{1 \cdot \left( { – \sqrt 3 } \right) + 0.0 + 0 \cdot 1}}{{1 \cdot \sqrt {{{( – \sqrt 3 )}^2} + {0^2} + {1^2}} }}$
$ = \frac{{ – \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {\vec i,\vec u} \right) = {150^ \circ }$.
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho $\vec a = \left( { – 3;4;0} \right),\vec b = \left( {5;0;12} \right)$. Côsin của góc giữa $\vec a$ và $\vec b$ bằng
A. $\frac{3}{{13}}$. B. $\frac{5}{6}$. C. $ – \frac{5}{6}$. D. $ – \frac{3}{{13}}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $cos\left( {\vec a;\vec b} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right|}}$
$ = \frac{{ – 3.5 + 4.0 + 0.12}}{{\sqrt {{{( – 3)}^2} + {4^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {0^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{ – 3}}{{13}}$.
Câu 25. Cho $\vec u = \left( { – 1;1;0} \right),\vec v = \left( {0; – 1;0} \right)$, góc giữa hai véctơ $\vec u$ và $\vec v$ là
A. ${120^ \circ }$. B. ${45^ \circ }$. C. ${135^ \circ }$. D. ${60^ \circ }$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $cos\left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left| {\vec u\left| \cdot \right|\vec v} \right|}} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\vec u,\vec v} \right) = {135^ \circ }$.
Câu 26. Trong không gian $Oxyz$ cho 2 véc tơ $\vec a = \left( {2;1; – 1} \right);\vec b = \left( {1;3;m} \right)$. Tìm $m$ để $\left( {\vec a;\vec b} \right) = {90^ \circ }$.
A. $m = – 5$. B. $m = 5$. C. $m = 1$. D. $m = – 2$
Lời giải
Chọn B.
$\left( {\vec a;\vec b} \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0 \Leftrightarrow 5 – m = 0 \Leftrightarrow m = 5$.
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho véc tơ $\vec u = \left( {1;1; – 2} \right),\vec v = \left( {1;0;m} \right)$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để góc giữa $\vec u,\vec v$ bằng ${45^ \circ }$.
A. $m = 2$. B. $m = 2 \pm \sqrt 6 $. C. $m = 2 – \sqrt 6 $. D. $m = 2 + \sqrt 6 $.
Lời giải
Chọn C.
$\; + \left( {\vec u,\vec v} \right) = {45^ \circ } \Leftrightarrow cos\left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left| {\vec u\left| \cdot \right|\vec v} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
$ \Leftrightarrow \frac{{1 – 2m}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sqrt {3\left( {{m^2} + 1} \right)} = 1 – 2m$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 – 2m \geqslant 0} \\
{3{m^2} + 3 = 1 – 4m + 4{m^2}}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m \leqslant \frac{1}{2}} \\
{{m^2} – 4m – 2 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow m = 2 – \sqrt 6 .} \right.$
Câu 28. Trong không gian $Oxyz$, cho các vec tơ $\vec a = \left( {5;3; – 2} \right)$ và $\vec b = \left( {m; – 1;m + 3} \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để góc giữa hai vec tơ $\vec a$ và $\vec b$ là góc tù?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 5.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $cos\left( {\vec a;\vec b} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right|}} = \frac{{3m – 9}}{{\sqrt {38} \cdot \sqrt {2{m^2} + 6m + 10} }}$.
Góc giữa hai vec tơ $\vec a$ và $\vec b$ là góc tù khi và chỉ khi $cos\left( {\vec a;\vec b} \right) < 0 \Leftrightarrow 3m – 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ {1;2} \right\}$.
Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 29. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {1;3} \right),B\left( { – 2; – 2} \right),C\left( {3;1} \right)$. Tính cosin góc $A$ của tam giác.
A. $cosA = \frac{2}{{\sqrt {17} }}$ B. $cosA = \frac{1}{{\sqrt {17} }}$ C. $cosA = – \frac{2}{{\sqrt {17} }}$ D. $cosA = – \frac{1}{{\sqrt {17} }}$
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { – 3; – 5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2; – 2} \right)$.
Khi đó: $cosA = cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)$
$ = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{ – 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2}}{{\sqrt {34} \cdot 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}$.
Câu 30. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( { – 1; – 2;3} \right)\;B\left( {0;3;1} \right),C\left( {4;2;2} \right)$. Cosin của góc $\widehat {BAC}$ là
A. $\frac{9}{{\sqrt {35} }}$. B. $ – \frac{9}{{\sqrt {35} }}$. C. $ – \frac{9}{{2\sqrt {35} }}$. D. $\frac{9}{{2\sqrt {35} }}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {1;5; – 2} \right);\overrightarrow {AC} \left( {5;4; – 1} \right)$.
$cos\widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} \cdot \sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}$.
Câu 31. Trong không gian $Oxyz$ cho $A\left( {1;2;3} \right);B\left( { – 1;2;1} \right);C\left( {3; – 1; – 2} \right)$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} $.
A. -6. B. -14. C. 14. D. 6 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;0; – 2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {2; – 3; – 5} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 6$
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm $M\left( {2;3; – 1} \right),N\left( { – 1;1;1} \right)$ và $P\left( {1;m – 1;2} \right)$. Tìm $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$.
A. $m = 2$ B. $m = – 6$ C. $m = 0$ D. $m = – 4$
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow {MN} \left( { – 3; – 2;2} \right);\overrightarrow {NP} \left( {2;m – 2;1} \right)$.
Tam giác $MNP$ vuông tại $N$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {NP} = 0 \Leftrightarrow – 6 – 2\left( {m – 2} \right) + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow m – 2 = – 2 \Leftrightarrow m = 0$.
Câu 33. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;2} \right)$. Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M$ không trùng với các điểm $A,B,C$ và $\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA} = {90^ \circ }$
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn C
Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$.Ta có: $\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA} = {90^ \circ }$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = 0} \\
{\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {CM} = 0} \\
{\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {AM} = 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + {z^2} = 0} \\
{{x^2} + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right) = 0} \\
{x\left( {x – 2} \right) + {y^2} + z\left( {z – 2} \right) = 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y = 0} \\
{{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y – 2z = 0} \\
{{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2z = 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y = 0} \\
{x = z} \\
{y = z}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3{x^2} – 4x = 0} \\
{x = y = z}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M\left( {0;0;0} \right)} \\
{M\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)}
\end{array}} \right.$
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$, biết $A\left( {5;3; – 1} \right),B\left( {2;3; – 4} \right)$ , $C\left( {3;1; – 2} \right)$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng:
A. $9 – 2\sqrt 6 $. B. $9 – 3\sqrt 6 $. C. $9 + 3\sqrt 6 $. D. $9 + 2\sqrt 6 $.
Lời giải
Chọn B
Ta có $A{C^2} + B{C^2} = 9 + 9 = A{B^2} \Rightarrow $ tam giác $ABC$ vuông tại $C$.
Suy ra: $r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = \frac{{\frac{1}{2}\;CA.CB\;}}{{\frac{1}{2}\left( {AB + BC + CA} \right)}}$
$ = \frac{{3.3\sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 3 }} = 9 – 3\sqrt 6 $
DẠNG 3: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG-TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2;2;1} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A. $OA = \sqrt 5 $ B. $OA = 5$ C. $OA = 3$ D. $OA = 9$
Lời giải
Chọn C
$OA = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3$.
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; – 3;1} \right),B\left( {3;0; – 2} \right)$. Tính độ dài $AB$.
A. 26. B. 22. C. $\sqrt {26} $. D. $\sqrt {22} $.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; – 3} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {22} $
Câu 37. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;1;2} \right)$ và $B\left( {3;1;0} \right)$. Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là
A. $\left( {4;2;2} \right)$. B. $\left( {2;1;1} \right)$. C. $\left( {2;0; – 2} \right)$. D. $\left( {1;0; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2} \\
{{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1.\;} \\
{{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1}
\end{array}} \right.$
Vậy $M\left( {2;1;1} \right)$.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A\left( { – 1;5;3} \right)$ và $M\left( {2;1; – 2} \right)$. Tọa độ điểm $B$ biết $M$ là trung điểm của $AB$ là
A. $B\left( {\frac{1}{2};3;\frac{1}{2}} \right)$. B. $B\left( { – 4;9;8} \right)$. C. $B\left( {5;3; – 7} \right)$. D. $B\left( {5; – 3; – 7} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Giả sử $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$.
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}} \\
{{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \\
{{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 = \frac{{ – 1 + {x_B}}}{2}} \\
{1 = \frac{{5 + {y_B}}}{2}} \\
{ – 2 = \frac{{3 + {z_M}}}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} = 5} \\
{{y_B} = – 3} \\
{{z_B} = – 7}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy $B\left( {5; – 3; – 7} \right)$.
Câu 39. Trong không gian cho hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1; – 2;3} \right),B\left( { – 1;2;5} \right),C\left( {0;0;1} \right)$. Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
A. $G\left( {0;0;3} \right)$. B. $G\left( {0;0;9} \right)$. C. $G\left( { – 1;0;3} \right)$. D. $G\left( {0;0;1} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Toạ độ trong tâm $G$ của tam giác $ABC$ bằng: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 – 1 + 0}}{3} = 0} \\
{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ – 2 + 2 + 0}}{3} = 0} \\
{{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow G\left( {0;0;3} \right)$
Câu 40. Cho bốn điểm $S\left( {1,2,3} \right);A\left( {2,2,3} \right);B\left( {1,3,3} \right);C\left( {1,2,4} \right)$. Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp $SABC$.
A. $\left( {5;9;13} \right)$. B. $\left( {\frac{5}{3};3;\frac{{13}}{3}} \right)$. C. $\left( {1;\frac{7}{4};\frac{9}{4}} \right)$ D. $\left( {\frac{5}{4};\frac{9}{4};\frac{{13}}{4}} \right)$
Lời giải
Chọn D
Gọi $G\left( {x,y,z} \right)$ là trọng tâm của hình chóp $SABC$ suy ra
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_S}}}{4}} \\
{y = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_S}}}{4}} \\
{z = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_S}}}{4}}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{2 + 1 + 1 + 1}}{4} = \frac{5}{4}} \\
{y = \frac{{2 + 3 + 2 + 2}}{4} = \frac{9}{4}} \\
{z = \frac{{3 + 3 + 4 + 3}}{4} = \frac{{13}}{4}}
\end{array}} \right.$
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm $B\left( {1;2; – 3} \right),C\left( {7;4; – 2} \right)$ Nếu điểm $E$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB} $ thì tọa độ điểm $E$ là:
A. $\left( {3;\frac{8}{3}; – \frac{8}{3}} \right)$ B. $\left( {\frac{8}{3};3; – \frac{8}{3}} \right)$. C. $\left( {3;3; – \frac{8}{3}} \right)$ D. $\left( {1;2;\frac{1}{3}} \right)$
Lời giải
Chọn A
Gọi $E\left( {x;y;z} \right)$
Ta có: $\overrightarrow {CE} = \left( {x – 7;y – 4;z + 2} \right)$; $2\overrightarrow {EB} = \left( {2 – 2x;4 – 2y; – 6 – 2z} \right)$
$\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 7 = 2 – 2x} \\
{y – 4 = 4 – 2y} \\
{z + 2 = – 6 – 2z}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{y = \frac{8}{3}} \\
{z = – \frac{8}{3}}
\end{array}} \right.$
Câu 42. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3;1; – 2} \right),B\left( {2; – 3;5} \right)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$, tọa độ điểm $M$ là
A. $\left( {\frac{7}{3}; – \frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)$. B. $\left( {4;5; – 9} \right)$. C. $\left( {\frac{3}{2}; – 5;\frac{{17}}{2}} \right)$. D. $\left( {1; – 7;12} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$. Vì M thuộc đoạn AB nên:
$\overrightarrow {MA} = – 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 – x = – 2\left( {2 – x} \right)} \\
{1 – y = – 2\left( { – 3 – y} \right)} \\
{ – 2 – z = – 2\left( {5 – z} \right)}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{7}{3}} \\
{y = – \frac{5}{3}} \\
{z = \frac{8}{3}}
\end{array}} \right.$
Câu 43. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm là $A\left( {1;3; – 1} \right),B\left( {3; – 1;5} \right)$. Tìm tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MB} $.
A. $M\left( {\frac{5}{3};\frac{{13}}{3};1} \right)$. B. $M\left( {\frac{7}{3};\frac{1}{3};3} \right)$. C. $M\left( {\frac{7}{3};\frac{1}{3};3} \right)$. D. $M\left( {4; – 3;8} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MB} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_M} = \frac{{{x_A} – 3{x_B}}}{{1 – 3}} = 4} \\
{{y_M} = \frac{{{y_A} – 3{y_B}}}{{1 – 3}} = – 3} \\
{{z_M} = \frac{{{z_A} – 3{z_B}}}{{1 – 3}} = 8}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow M(4; – 3;8)$
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {4;2;1} \right),B\left( { – 2; – 1;4} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} $.
A. $M\left( {0;0;3} \right)$. B. $M\left( {0;0; – 3} \right)$. C. $M\left( { – 8; – 4;7} \right)$. D. $M\left( {8;4; – 7} \right)$.
Lời giải
Chon A
Gọi điểm $M\left( {x;y;z} \right)$. Khi đó: $\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 4 = 2\left( { – 2 – x} \right)} \\
{y – 2 = 2\left( { – 1 – y} \right)} \\
{z – 1 = 2\left( {4 – z} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{y = 0} \\
{z = 3}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy $M\left( {0;0;3} \right)$.
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {3; – 4;0} \right),B\left( { – 1;1;3} \right),C\left( {3,1,0} \right)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ trên trục hoành sao cho $AD = BC$.
A. $D\left( {6;0;0} \right),D\left( {12;0;0} \right)$ B. $D\left( {0;0;0} \right),D\left( {6;0;0} \right)$ C. $D\left( { – 2;1;0} \right),D\left( { – 4;0;0} \right)$ D. $D\left( {0;0;0} \right),D\left( { – 6;0;0} \right)$
Lời giải
Chọn B
Gọi $D\left( {x;0;0} \right) \in Ox$
$AD = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{(x – 3)}^2} + 16} = 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 6}
\end{array}} \right.$
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 2;3;1} \right)$ và $B\left( {5;6;2} \right)$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ tại điểm $M$. Tính tỉ số $\frac{{AM}}{{BM}}$.
A. $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}$ B. $\frac{{AM}}{{BM}} = 2$ C. $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{3}$ D. $\frac{{AM}}{{BM}} = 3$
Lời giải
Chọn A
$M \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow M\left( {x;0;z} \right);\overrightarrow {AB} = \left( {7;3;1} \right)$ $ \Rightarrow AB = \sqrt {59} ;\overrightarrow {AM} = \left( {x + 2; – 3;z – 1} \right)$và
$A,B,M$ thẳng hàng $ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = k \cdot \overrightarrow {AB} \;\left( {k \in \mathbb{R}} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 2 = 7k} \\
{ – 3 = 3k} \\
{z – 1 = k}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 9} \\
{ – 1 = k} \\
{z = 0}
\end{array} \Rightarrow M\left( { – 9;0;0} \right)} \right.} \right.$.
$\overrightarrow {BM} = \left( { – 14; – 6; – 2} \right);\overrightarrow {AM} = \left( { – 7; – 3; – 1} \right) \Rightarrow BM = 2AB$.
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {a;0;0} \right);D\left( {0;2a;0} \right),A’\left( {0;0;2a} \right)$ với $a \ne 0$. Độ dài đoạn thẳng $AC’$ là
A. $\left| a \right|$. B. $2\left| a \right|$. C. $3\left| a \right|$. D. $\frac{3}{2}\left| a \right|$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {a;0;0} \right);\overrightarrow {AD} = \left( {0;2a;0} \right);\overrightarrow {AA’} = \left( {0;0;2a} \right)$.
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {AC’} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC’} = \left( {a;2a;2a} \right)$.
Suy ra $AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2} + {{(2a)}^2}} = 3\left| a \right|$.
Vậy độ dài đoạn thẳng $AC’ = 3\left| a \right|$.
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD,B\left( {3;0;8} \right),D\left( { – 5; – 4;0} \right)$. Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|$ bằng:
A. $10\sqrt 5 $. B. $6\sqrt {10} $. C. $10\sqrt 6 $. D. $5\sqrt {10} $.
Lời giải
Chọn B
$\overrightarrow {BD} = \left( { – 8; – 4; – 8} \right) \Rightarrow BD = 12 \Rightarrow AB = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 $.
Gọi $M$ là trung điểm $AB \Rightarrow MC = 3\sqrt {10} $.
$\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \left| = \right|2\overrightarrow {CM} } \right| = 2CM = 6\sqrt {10} $.
Câu 49. Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A\left( {5;1;5} \right);B\left( {4;3;2} \right);C\left( { – 3; – 2;1} \right)$. Điểm $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $a + 2b + c$ ?
A. 1. B. 3. C. 6. D. -9.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;2; – 3} \right)} \\
{\overrightarrow {BC} = \left( { – 7; – 5; – 1} \right)}
\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow } \right.$ tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
$ \Rightarrow $ tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm của cạnh huyền $AC$.
$ \Rightarrow I\left( {1; – \frac{1}{2};3} \right)$. Vậy $a + 2b + c = 3$.
Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow {OA} = 2\vec i + 2\vec j + 2\vec k,B\left( { – 2;2;0} \right)$ và $C\left( {4;1; – 1} \right)$. Trên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$, điểm nào dưới đây cách đều ba điểm $A,B,C$.
A. $M\left( {\frac{3}{4};0;\frac{1}{2}} \right)$. B. $N\left( {\frac{{ – 3}}{4};0;\frac{{ – 1}}{2}} \right)$. C. $P\left( {\frac{3}{4};0;\frac{{ – 1}}{2}} \right)$. D. $Q\left( {\frac{{ – 3}}{4};0;\frac{1}{2}} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $A\left( {2;2;2} \right)$ và $PA = PB = PC = \frac{{3\sqrt {21} }}{4}$.
Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1;2; – 1} \right),B\left( {2; – 1;3} \right)$ , $C\left( { – 4;7;5} \right)$. Gọi $D\left( {a;b;c} \right)$ là chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$. Giá trị của $a + b + 2c$ bằng
A. 5. B. 4 . C. 14 . D. 15 .
Lời giải
Chọn A
Ta có $AB = \sqrt {26} ,BC = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} $.
Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$, theo tính chất phân giác ta có $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\overrightarrow {DA} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \left( * \right)$.
Ta có $\overrightarrow {DA} = \left( {1 – x;2 – y; – 1 – z} \right)$ và $\overrightarrow {DC} = \left( { – 4 – x;7 – y;5 – z} \right)$.
Do đó $\left( * \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – x = – \frac{1}{2}\left( { – 4 – x} \right)} \\
{2 – y = – \frac{1}{2}\left( {7 – y} \right)} \\
{ – 1 – z = – \frac{1}{2}\left( {5 – z} \right)}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{2}{3}} \\
{y = \frac{{11}}{3}} \\
{z = 1}
\end{array} \Rightarrow D\left( { – \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)} \right.$$ \Rightarrow a + b + 2c = 5$.
Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;2; – 2} \right)$ và $B\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$. Biết $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$. Giá trịi $a – b + c$ bằng
A. 1 B. 3 C. 2 D. 0
Lời giải
Chọn D
Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {1;2; – 2} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$, do đó $OA = 3,OB = 4$.
Gọi $D$ là chân đường phân giác trong kẻ từ $O$, ta có $\overrightarrow {DA} = – \frac{{DA}}{{DB}} \cdot \overrightarrow {DB} = – \frac{{OA}}{{OB}} \cdot \overrightarrow {DB} $, suy ra
$\overrightarrow {DA} = – \frac{3}{4}\overrightarrow {DB} \Rightarrow \overrightarrow {OD} = \frac{{4 \cdot \overrightarrow {OA} + 3 \cdot \overrightarrow {OB} }}{7}$.
Do đó $D\left( {\frac{{12}}{7};\frac{{12}}{7};0} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {AD} = \left( {\frac{5}{7}; – \frac{2}{7};2} \right) \Rightarrow AD = \frac{{15}}{7}$.
$\overrightarrow {ID} = – \frac{{AD}}{{AO}} \cdot \overrightarrow {IO} = – \frac{5}{7}\overrightarrow {IO} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {OD} $$ \Rightarrow D\left( {1;1;0} \right)$
Do đó $a – b + c = 0$.
Câu 53. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {2;2;1} \right)$, $N\left( { – \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$.Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OMN$.
A. $I\left( {1;1;1} \right)$. B. $I\left( {0;1;1} \right)$. C. $I\left( {0; – 1; – 1} \right)$. D. $I\left( {1;0;1} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có bài toán bài toán sau
Trong tam giác $ABC,I$ là tâm đường tròn nột tiếp $\vartriangle ABC$ ta có: a. $\overrightarrow {IA} + b \cdot \overrightarrow {IB} + c \cdot \overrightarrow {IC} = \vec 0$. với $BC = a;AC = b;AB = c$.
Thật vậy:
Gọi $A’$ là chân đường phân giác trong kẻ từ $A$.
$ \Rightarrow \overrightarrow {BA’} = \frac{c}{b}\overrightarrow {A’C} \Leftrightarrow b\overrightarrow {BA’} + c\overrightarrow {CA’} = \vec 0\left( 1 \right)$
$\overrightarrow {IA} = \frac{c}{{A’B}}\overrightarrow {A’I} = \frac{c}{{\frac{{ac}}{{b + c}}}}\overrightarrow {A’I} = \frac{{b + c}}{a}\overrightarrow {A’I} $
$ \Leftrightarrow a\overrightarrow {IA} + \left( {b + c} \right)\overrightarrow {IA’} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} + b\overrightarrow {BA’} + c\overrightarrow {CA’} = \vec 0$
$ \Leftrightarrow a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \vec 0\;\left( {do\left( 1 \right)} \right)$.
Áp dụng công thức trong tam giác $OMN$
ta được $OM \cdot \overrightarrow {IN} + ON \cdot \overrightarrow {IM} + MN \cdot \overrightarrow {IO} = \vec 0$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = \frac{{OM \cdot {x_N} + ON \cdot {x_M} + MN \cdot {x_O}}}{{OM + ON + MN}} = 0} \\
{{y_I} = \frac{{OM \cdot {y_N} + ON \cdot {y_M} + MN \cdot {y_O}}}{{OM + ON + MN}} = 1} \\
{{z_I} = \frac{{OM \cdot {z_N} + ON \cdot {z_M} + MN \cdot {z_O}}}{{OM + ON + MN}} = 1}
\end{array}} \right.$
Vậy điểm $I\left( {0;1;1} \right)$ là điểm cần tìm.
Câu 54. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;2} \right)$. Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M$ không trùng với các điểm $A,B,C$ và $\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA} = {90^ \circ }$ ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3 .
Lời giải
Chọn C
Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$.
Do $\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA} = {90^ \circ }$ nên các tam giác $\vartriangle AMB,\vartriangle BMC,\vartriangle CMA$ vuông tại $M$.
Khi đó $IM = \frac{{AB}}{2};JM = \frac{{BC}}{2};KM = \frac{{AC}}{2}$.
Mặt khác $AB = BC = AC = 2\sqrt 2 $.
Vậy $MI = MJ = MK = \sqrt 2 $. Khi đó $M$ thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy $IJK$ và cách $\left( {IJK} \right)$ một khoảng không đổi là $\sqrt 2 $. Khi đó có hai điểm $M$ thỏa mãn điều kiện trên.
Câu 55. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( { – 2;3;1} \right),B\left( {2;1;0} \right)$, $C\left( { – 3; – 1;1} \right)$. Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và diện tích tứ giác $ABCD$ bằng 3 lần diện tích tam giác $ABC$.
A. $D\left( { – 12; – 1;3} \right)$. B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{D\left( { – 8; – 7;1} \right)} \\
{D\left( {12;1; – 3} \right)}
\end{array}} \right.$. C. $D\left( {8;7; – 1} \right)$. D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{D\left( {8;7; – 1} \right)} \\
{D\left( { – 12; – 1;3} \right)}
\end{array}} \right.$
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AD + BC} \right) \cdot d\left( {A,BC} \right)$
$ \Leftrightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AD + BC} \right) \cdot \frac{{2{S_{\vartriangle ABC}}}}{{BC}}$.
$ \Leftrightarrow 3{S_{\vartriangle ABC}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right) \cdot {S_{\vartriangle ABC}}}}{{BC}}$
$ \Leftrightarrow 3BC = AD + BC \Leftrightarrow AD = 2BC$.
Mà $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ nên $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC} $ (1).
$\overrightarrow {BC} = \left( { – 5; – 2;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} + 2;{y_D} – 3;{z_D} – 1} \right)$.
(1) $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} + 2 = – 10} \\
{{y_D} – 3 = – 4} \\
{{z_D} – 1 = 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = – 12} \\
{{y_D} = – 1} \\
{{z_D} = 3}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy $D\left( { – 12; – 1;3} \right)$.
Câu 56. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Ba đỉnh $A\left( {1;2;1} \right),B\left( {2;0; – 1} \right),C\left( {6;1;0} \right)$ Hình thang có diện tích bằng $6\sqrt 2 $. Giả sử đỉnh $D\left( {a;b;c} \right)$, tìm mệnh đề đúng?
A. $a + b + c = 6$. B. $a + b + c = 5$. C. $a + b + c = 8$. D. $a + b + c = 7$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 2; – 2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3$;
$\overrightarrow {BC} = \left( {4;1;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3\sqrt 2 $.
Theo giả thiết $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ và có diện tích bằng $6\sqrt 2 $ nên $\frac{1}{2}AB\left( {AD + BC} \right) = 6\sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left( {AD + 3\sqrt 2 } \right) = 6\sqrt 2 $
$ \Rightarrow AD = \sqrt 2 \Rightarrow AD = \frac{1}{3}BC$.
Do $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ nên $\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} $.
Giả sử $D\left( {a;b;c} \right)$ khi đó ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a – 1 = \frac{4}{3}} \\
{b – 2 = \frac{1}{3}} \\
{c – 1 = \frac{1}{3}}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \frac{7}{3}} \\
{b = \frac{7}{3}} \\
{c = \frac{4}{3}}
\end{array} \Rightarrow a + b + c = 6} \right.$.
