Lý thuyết vectơ trong không gian lớp 12 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
1. Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:
• Cho đoạn thẳng $AB$ trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là $A$ , điểm cuối là $B$ thì ta có một vectơ, kí hiệu là $\overrightarrow {AB} $, đọc là “vectơ $AB$”.
• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là $\vec a,\vec b,\vec u,\vec v,…$
• Độ dài của vectơ $\overrightarrow {AB} $ được kí hiệu là $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$, độ dài của vectơ $\vec a$ được kí hiệu là $\left| {\vec a} \right|$.
• Đường thẳng đi qua điểm đầu và cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ.
Đường thẳng $d$ là giá của vectơ $\vec a$
Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
• Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec a = \vec b$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các tính chất và quy ước sau:
• Trong không gian, với mỗi điểm $O$ và vectơ $\vec a$ cho trước, có duy nhất điểm sao cho $\overrightarrow {OM} = \vec a$.
• Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như $\overrightarrow {AA} ,\overrightarrow {BB} ,…$được gọi là vectơ-không.
• Ta quy ước vectơ-không có độ dài là $0$, cùng hướng với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec 0$.
2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
a. Tổng của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$. Lấy một điểm $A$ tùy ý, vẽ $\overrightarrow {AB} = \vec a$, $\overrightarrow {BC} = \vec b$. Vectơ $\overrightarrow {AC} $ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$, kí hiệu $\vec a + \vec b$. Vậy $\vec a + \vec b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $.
Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tình chất sau:
• Tính chất giao hoán: $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$.
• Tính chất kết hợp: $\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)$.
• Tính chất của vectơ-không: $\vec a + \vec 0 = \vec 0 + \vec a = \vec a$.
Đối với vectơ trong không gian, ta có các quy tắc sau:
• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm $A,B,C$ ta luôn có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $
• Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là hình bình hành, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.
• Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {AC’} $
b. Hiệu của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$. Hiệu của vectơ $\vec a$ và vectơ $\vec b$ là tổng vectơ $\vec a$ và vectơ đối của vectơ $\vec b$ , kí hiệu $\vec a – \vec b$.
Phép lấy hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
Chú ý: Trong không gian, với ba điểm $O,A,B$ tùy ý, ta luôn có: $\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} $.
3. Tích của một số với một vectơ trong không gian
a. Định nghĩa:
Cho số $k \ne 0$ và một vectơ $\vec a \ne \vec 0$. Tích của vectơ $\vec a$ với số $k$ là một vectơ, kí hiệu $k\vec a$.
Vectơ $k\vec a$ cùng hướng với $\vec a$ nếu $k > 0$, ngược hướng với $\vec a$ nếu $k < 0$ và có độ dài bằng $\left| k \right|\left| {\vec a} \right|$.
Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.
Quy ước: $0.\vec a = \vec 0$ và $k.\vec a = \vec 0$.
b.Tính chất:
Với hai vectơ $\vec a$, $\vec b$bất kỳ, với mọi số thực $h$ và $k$, ta có:
• $k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b;k\left( {\vec a – \vec b} \right) = k\vec a – k\vec b$
• $\left( {h + k} \right)\vec a = h\vec a + k\vec a$
• $h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a$
• $1\vec a = \vec a$, $\left( { – 1} \right)\vec a = – \vec a$.
Chú ý:
• Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$($\vec b$ khác $\vec 0$) cùng phương khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\vec a = k\vec b$.
• Ba điểm phân biệt $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k$ khác 0 sao cho $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} $.
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $M$ tuỳ ý, ta có:
$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0;{\text{ }}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $.
• Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $M$ tuỳ ý, ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0;{\text{ }}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $
• Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$, $M$ tuỳ ý. Ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0;$
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} $
c. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$, trong đó $\vec a$ và $\,\vec b$ không cùng phương. Khi đó: $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số duy nhất $\,m,n \in \mathbb{R}$ sao cho $\vec c = m\vec a + n\vec b$
• Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ không đồng phẳng, $\vec x$ tuỳ ý.
Khi đó: $\,\exists m,n,p \in \mathbb{R}$: $\vec x = m\vec a + n\vec b + p\vec c$
4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
a. Góc giữa hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ đều khác vectơ $\vec 0.$ Từ một điểm $O$ bất kì ta vẽ $\overrightarrow {OA} = \vec a$ và $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b $.
Góc cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ trong không gian, kí hiệu $\left( {\vec a,\vec b} \right)$, là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} $.
Chú ý:
• ${0^{\text{o}}} \leqslant \left( {\vec a,\vec b} \right) \leqslant {180^{\text{o}}}$
• Nếu $\left( {\vec a,\vec b} \right) = {90^0}$ thì ta nói rằng $\vec a$ và $\vec b$vuông góc với nhau, kí hiệu là $\vec a \bot \vec b$.
• Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\vec 0$ luôn bằng ${0^{\text{o}}}$.
• Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\vec 0$ luôn bằng ${180^{\text{o}}}$.
b. Tích vô hướng của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ đều khác vectơ $\vec 0.$ Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ là một số thực, kí hiệu $\vec a.\vec b$, được xác định bởi công thức sau: $\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)$
Chú ý:
• Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ bằng $\vec 0$, ta quy ước $\vec a.\vec b = 0$.
• Với hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ đều khác vectơ $\vec 0$, ta có $\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \vec a.\vec b = 0$.
• Khi $\vec a = \vec b$ thì tích vô hướng $\vec a.\vec b$ được kí hiệu là ${\vec a^2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec a$.
Ta có ${\vec a^2} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec a} \right|\cos {0^{\text{o}}} = {\left| {\vec a} \right|^2}$. Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
• Tính chất của tích vô hướng: Với ba vectơ $\vec a,{\text{ }}\overrightarrow b ,{\text{ }}\overrightarrow c $ bất kì và mọi số $k$, ta có:
+ $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a $ (tính chất giao hoán)
+ $\overrightarrow a \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c $ (tính chất phân phối)
+ $\left( {k\overrightarrow a } \right).\overrightarrow b = k\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\left( {k\overrightarrow b } \right)$
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
$ \bullet $ ${\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = {\vec a^2} + 2\vec a.\vec b + {\vec b^2}$
$ \bullet $ ${\left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right)^2} = {\vec a^2} – 2\vec a.\overrightarrow b + {\vec b^2}$
$ \bullet $ $\left( {\vec a + \overrightarrow b } \right)\left( {\vec a – \overrightarrow b } \right) = {\vec a^2} – {\vec b^2}$
