Các dạng bài tập trả lời ngắn về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;
$\int {kdx = k} x + C$;
$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.
Câu 1. Biết $F\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 6$. Khi đó giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 2x – 6} \right)dx} = {x^3} + {x^2} – 6x + C$
Vậy $a + b + c = 1 + 1 + ( – 6) = – 4$
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^6}}} + \frac{1}{{{x^7}}}$. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f(x)$ là $F\left( x \right) = \frac{1}{{a{x^5}}} + \frac{1}{{b{x^6}}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $a + b$.
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( { – \frac{1}{{{x^6}}} + \frac{1}{{{x^7}}}} \right)dx} $
$ = \int {\left( { – {x^{ – 6}} + {x^{ – 7}}} \right)dx} = – \frac{{{x^{ – 5}}}}{{ – 5}} + \frac{{{x^{ – 6}}}}{{ – 6}} = \frac{1}{{5{x^5}}} + \frac{1}{{ – 6{x^6}}}$
Vậy $a + b = 5 – 6 = – 1$
Câu 3. Biết $F\left( x \right) = a.\frac{1}{{{x^5}}} + b.\frac{1}{{{x^6}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{5}{{{x^6}}} + \frac{2}{{{x^7}}}$. Khi đó giá trị $a + 12b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{5}{{{x^6}}} + \frac{2}{{{x^7}}}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {5{x^{ – 6}} + 2{x^{ – 7}}} \right)dx} = 5.\frac{{{x^{ – 5}}}}{{ – 5}} + 2.\frac{{{x^{ – 6}}}}{{ – 6}} + C = – \frac{1}{{{x^5}}} – \frac{1}{{3{x^6}}}$
Vậy $a + 12b = – 1 + 12.\left( { – \frac{1}{3}} \right) = – 5$
Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt x + \sqrt[3]{x}$. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f(x)$ là $F\left( x \right) = a.\sqrt {{x^3}} + b.\sqrt[3]{{{x^4}}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $3a + 4b$.
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {\sqrt x + \sqrt[3]{x}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{3}}}} \right)dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C$
$ = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + \frac{3}{4}\sqrt[3]{{{x^4}}} + C$
Vậy $3a + 4b = 2 + 3 = 5$
Câu 5. Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x }} + {3^x} + 3x – 2$ ta được $F\left( x \right) = a\sqrt x + \frac{{{3^x}}}{{\ln b}} + c{x^2} + dx + C$. Tính $a + b + 2c + d$.
Lời giải
$\int {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + {3^x} + 3x – 2} \right)dx} = 4\sqrt x + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{3}{2}{x^2} – 2x + C$
Vậy $a + b + 2c + d = 4 + 3 + 3 + ( – 2) = 8$
Câu 6. Biết $F\left( x \right) = a.\sqrt x + b.\sqrt[3]{{{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{6}{{\sqrt[3]{x}}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{6}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)dx} = \int {\left( {\frac{2}{{{x^{\frac{1}{2}}}}} + \frac{6}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {2{x^{ – \frac{1}{2}}} + 6{x^{ – \frac{1}{3}}}} \right)dx} = 2.\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + 6.\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C$
$ = 4{x^{\frac{1}{2}}} + 9{x^{\frac{2}{3}}} + C = 4\sqrt x + 9\sqrt[3]{{{x^2}}} + C$
Vậy $a + b = 4 + 9 = 13$
Câu 7. Biết $F\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\ln \left| x \right|$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {3x – 5} \right)}^2}}}{x}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{{{{\left( {3x – 5} \right)}^2}}}{x}} \right)dx} = \int {\left( {\frac{{9{x^2} – 30x + 25}}{x}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {9x – 30 + \frac{{25}}{x}} \right)dx} = \frac{9}{2}{x^2} – 30x + 25\ln \left| x \right| + C$
Vậy $2a + b + c = 9 – 30 + 25 = 4$.
Câu 8. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 4x$ và $F( – 1) = 2025$. Tính $F(1)$.
Lời giải
$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x} \right)dx} $
$ = 3.\frac{{{x^3}}}{3} + 4.\frac{{{x^2}}}{2} + C = {x^3} + 2{x^2} + C$
Theo đề ta có $F( – 1) = 2025$
$ \Leftrightarrow {\left( { – 1} \right)^3} + 2{\left( { – 1} \right)^2} + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2024$.
Suy ra, $F(x) = {x^3} + 2{x^2} + C = {x^3} + 2{x^2} + 2024$
Vậy $F(1) = {1^3} + {2.1^2} + 2024 = 2027$
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;
$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;
Câu 9. Biết $F\left( x \right) = a\sin x + bcosx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5\cos x + 7\sin x$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {5\cos x + 7\sin x} \right)} dx = 5\sin x – 7cosx + C$
Vậy $a + b = 5 – 7 = – 2$
Câu 10. Biết $F\left( x \right) = a\tan x + b\cot x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{11}}{{{{\sin }^2}x}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{11}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = 3\tan x – 11\cot x + C$
Vậy $a + b = 3 – 11 = – 8$.
Câu 11. Biết $F\left( x \right) = ax + b\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2026 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {2026 – 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2026 – 2.\frac{{1 – \cos x}}{2}} \right)} dx$
$ = \int {\left( {2026 – \left( {1 – \cos x} \right)} \right)} dx = \int {\left( {2025 + \cos x} \right)} dx$
$ = 2025x – \sin x + C$
Vậy $a + b = 2025 – 1 = 2024$.
Câu 12. Biết $F\left( x \right) = ax + b\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2025 + 2co{s^2}\frac{x}{2}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {2025 + 2co{s^2}x\frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2025 + 2.\frac{{1 + \cos x}}{2}} \right)} dx$
$ = \int {\left( {2026 + \cos x} \right)} dx = 2026x + \sin x + C$
Vậy $a + b = 2026 + 1 = 2027$.
Câu 13. Biết $F\left( x \right) = acos3x + b\sin \frac{x}{9}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin 3x + cos\frac{x}{9}$. Khi đó giá trị $3a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {\sin 3x + cos\frac{x}{9}} \right)} dx$
$ = – \frac{1}{3}cos3x + \frac{1}{{\frac{1}{9}}}\sin \frac{x}{9} + C = – \frac{1}{3}cos3x + 9\sin \frac{x}{9} + C$
Vậy $3a + b = – 1 + 9 = 8$.
Câu 14. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 6\sin x – 3cosx$ và $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2025$. Tính$F\left( { – \frac{\pi }{2}} \right)$.
Lời giải
$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {6\sin x – 3cosx} \right)dx} = – 6cosx – 3\sin x + C$
Theo đề ta có $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2025 \Leftrightarrow – 6cos\frac{\pi }{2} – 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 2025$
$ \Leftrightarrow – 3 + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2028$.
Suy ra, $F(x) = – 6cosx – 3\sin x + C = – 6cosx – 3\sin x + 2028$
Vậy $F\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = – 6cos\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) – 3\sin \left( { – \frac{\pi }{2}} \right) + 2028$
$ = 3 + 2028 = 2031$
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$
Câu 15. Biết $F\left( x \right) = a{e^x} + bx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5{e^x} + 7$. Khi đó giá trị $2a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {5{e^x} + 7} \right)} dx$$ = 5{e^x} + 7x + C$
Vậy $2a + b = 2.5 + 7 = 17$.
Câu 16. Biết $F\left( x \right) = a{e^{2x}} + b{e^x} + cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\left( {{e^x} + 3} \right)^2}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {{{\left( {{e^x} + 3} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{e^{2x}} + 6{e^x} + 9} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + 6{e^x} + 9x + C$
Vậy $2a + b + c = 2.\frac{1}{2} + 6 + 9 = 16$.
Câu 17. Biết $F\left( x \right) = a{e^{2x}} + b{e^x} + cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\left( {3{e^x} – 2} \right)^2}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {{{\left( {3{e^x} – 2} \right)}^2}} dx = \int {\left( {9{e^{2x}} – 12{e^x} + 4} \right)} dx$
$ = \frac{9}{2}{e^{2x}} – 12{e^x} + 4x + C$
Vậy $2a + b + c = 2.\frac{9}{2} – 12 + 4 = 1$.
Câu 18. Biết $F\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{e^x}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{2{e^x} + 3}}{{{e^x}}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{{2{e^x} + 3}}{{{e^x}}}} \right)} dx = \int {\left( {2 + \frac{3}{{{e^x}}}} \right)} dx$
$ = \int {\left( {2 + 3.{e^{ – x}}} \right)} dx = 2x – 3.{e^{ – x}} + C = 2x – \frac{3}{{{e^x}}} + C$
Vậy $a + b = 2 – 3 = – 1$.
Câu 19. Biết $F\left( x \right) = a.\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + b.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {7^{x + 1}} + {2^{x + 1}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {{7^{x + 1}} + {2^{x + 1}}} \right)} dx = \int {\left( {{{7.7}^x} + {{2.2}^x}} \right)} dx$
$ = 7.\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + 2.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$
Vậy $a + b = 7 + 2 = 9$.
Câu 20. Biết $F\left( x \right) = \frac{{{a^x}}}{b}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^x}{.7^x}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( {{3^x}{{.7}^x}} \right)} dx = \int {{{21}^x}} dx = \frac{{{{21}^x}}}{{\ln 21}} + C$
Vậy $a + b = 21 + 21 = 42$.
Câu 21. Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^{3x}} + {7^{2x}}$. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f(x)$ là $F\left( x \right) = \frac{{{a^x}}}{{b\ln 2}} + \frac{{{m^x}}}{{n\ln 7}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $a + b + m + n$.
Lời giải
$\int {f(x)dx} = \int {\left( {{2^{3x}} + {7^{2x}}} \right)dx} = \int {\left( {{8^x} + {{49}^x}} \right)dx} $
$ = \frac{{{8^x}}}{{\ln 8}} + \frac{{{{49}^x}}}{{\ln 49}} + C = \frac{{{8^x}}}{{\ln 8}} + \frac{{{{49}^x}}}{{\ln 49}} + C$
$ = \frac{{{8^x}}}{{\ln {2^3}}} + \frac{{{{49}^x}}}{{\ln {7^2}}} + C = \frac{{{8^x}}}{{3\ln 2}} + \frac{{{{49}^x}}}{{2\ln 7}} + C$
Vậy $a + b + m + n = 8 + 3 + 49 + 2 = 62$
Câu 22. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{\ln 2}}$ và $F\left( {\ln 2} \right) = 15$. Tính $F\left( 0 \right)$
Lời giải
$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {{e^x} + \frac{1}{{\ln 2}}} \right)dx} = {e^x} + \frac{1}{{\ln 2}}.x + C$
Theo đề ta có $F\left( {\ln 2} \right) = 15 \Leftrightarrow {e^{\ln 2}} – \ln 2.\frac{1}{{\ln 2}} + C = 15$
$ \Leftrightarrow 2 – \operatorname{l} + C = 15 \Leftrightarrow C = 14$
Suy ra, $F(x) = {e^x} + \frac{1}{{\ln 2}}.x + 14$
Vậy $F(0) = {e^0} + \frac{1}{{\ln 2}}.0 + 14 = 15$.
Câu 23. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 10{e^x} – 2x$ và $F\left( {\ln 5} \right) = 2026$. Tính $F\left( 0 \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {10{e^x} – 2x} \right)dx} = 10{e^x} – {x^2} + C$
Theo đề ta có $F\left( {\ln 5} \right) = 2026 \Leftrightarrow 10{e^{\ln 5}} – {\ln ^2}5 + C = 2026$
$ \Leftrightarrow 50 – {\ln ^2}5 + C = 2026 \Leftrightarrow C = 1976 + {\ln ^2}5$.
Suy ra, $F(x) = 10{e^x} – {x^2} + 1976 + {\ln ^2}5$
Vậy $F(x) = 10{e^0} – {0^2} + 1976 + {\ln ^2}5 = 1989$
Câu 24. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + cosx + {e^x}$ và $F\left( 0 \right) = 2026$. Tính $F\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {2x + cosx + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + \sin x + {e^x} + C$
Theo đề ta có $F\left( 0 \right) = 2026 \Leftrightarrow {0^2} + \sin 0 + {e^0} + C = 2026$
$ \Leftrightarrow 1 + C = 2026 \Leftrightarrow C = 2025$
Suy ra, $F(x) = {x^2} + \sin x + {e^x} + 2025$
Vậy $F(x) = {1^2} + \sin 1 + {e^1} + 2025 = 2030$
Câu 25. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\sin x – cosx} \right)^2} + \sin 2x + \frac{3}{x} + {7^x}$ và $F\left( {{e^3}} \right) = 5$. Tính $F\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng phần chục)
Lời giải
$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left[ {{{\left( {\sin x – cosx} \right)}^2} + \sin 2x + \frac{3}{x} + {7^x}} \right]dx} $
$ = \int {\left[ {{{\sin }^2}x – 2\sin x\cos x + co{s^2}x + \sin 2x + \frac{3}{x} + 7} \right]dx} $
$ = \int {\left[ {1 – \sin 2x + \sin 2x + \frac{3}{x} + 7} \right]dx} $
$ = \int {\left[ {8 + \frac{3}{x}} \right]dx = 8x + 3\ln \left| x \right| + C} $
Theo đề ta có $F\left( {{e^3}} \right) = 5 \Leftrightarrow 8{e^3} + 3\ln \left| {{e^3}} \right| + C = 5$
$ \Leftrightarrow 8{e^3} + 9 + C = 5 \Leftrightarrow C = – 4 – 8{e^3}$
Suy ra, $F(x) = 8x + 3\ln \left| x \right| – 4 – 8{e^3}$
Vậy $F(1) = 8.1 + 3\ln \left| 1 \right| – 4 – 8{e^3} = 4 – 8{e^3} = – 156,7$.
