Bài tập trả lời ngắn phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1\,;3\,;2} \right)$. Biết điểm $M(5;b;c)$ thuộc $d$. Tính $b + c$.
Lời giải
Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow u = \left( {1\,;3\,;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $d:\left\{ \begin{gathered}
x = t \hfill \\
y = 3t \hfill \\
z = 2t \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Lại có $M(5;b;c)$ thuộc $d$ nên $\left\{ \begin{gathered}
5 = t \hfill \\
b = 3t \hfill \\
c = 2t \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
t = 5 \hfill \\
b = 15 \hfill \\
c = 10 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $M(5;15;10)$.
Vậy $b + c = 15 + 10 = 25$.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$, $B\left( {1\,;\,1\,;\,0} \right)$ và $C\left( {3\,;\,4\,;\, – 1} \right)$. Gọi $d$ là đường thẳng đi đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$. Biết điểm $M(a;b;2)$ thuộc $d$. Tính $a + b$.
Lời giải
Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$ nhận $\overrightarrow {BC} = \left( {2\,;\,3\,;\, – 1} \right)$ làm một véc tơ chỉ phương.
Suy ra phương trình của đường thẳng $d$: $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$.
Mà điểm $M(a;b;2)$ thuộc $d$ nên $\frac{{a – 1}}{2} = \frac{b}{3} = \frac{{2 – 1}}{{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{a – 1}}{2} = \frac{b}{3} = – 1$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{a – 1}}{2} = – 1 \hfill \\
\frac{b}{3} = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 1 \hfill \\
b = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + b = – 4$.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; – 2; – 3} \right)$; $B\left( { – 1;4;1} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{2}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn $AB$ và song song với $d$. Biết điểm $M(a; – 2;c)$ thuộc $\Delta $. Tính $a + c$.
Lời giải
+ Trung điểm của $AB$ là $I\left( {0;1; – 1} \right)$
+ $d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{2}$ có VTCP là $\overrightarrow u \left( {1; – 1;2} \right)$
Do $\Delta //d$ nên đường thẳng $\Delta $ cần tìm cũng có VTCP $\overrightarrow u \left( {1; – 1;2} \right)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta :\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{x + 1}}{2}.$
mà điểm $M(a; – 2;c)$ thuộc $\Delta $ nên ta có $\frac{a}{1} = \frac{{ – 2 – 1}}{{ – 1}} = \frac{{c + 1}}{2}$
$ \Leftrightarrow \frac{a}{1} = 3 = \frac{{c + 1}}{2}$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{a}{1} = 3 \hfill \\
\frac{{c + 1}}{2} = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 3 \hfill \\
c = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + c = 3 + 5 = 8$.
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1; – 2;3} \right)$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 1 = 0$, $\left( Q \right):x – y + z – 2 = 0$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$, song song với $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Biết điểm $M(a;b;7)$ thuộc $\Delta $. Tính $a + b$.
Lời giải
Ta có:
+$\Delta $ đi qua $A\left( {1; – 2;3} \right)$
+ $\left\{ \begin{gathered}
{{\vec n}_{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right) \hfill \\
{{\vec n}_{\left( Q \right)}} = \left( {1; – 1;1} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $ \Rightarrow $ $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left[ {{{\vec n}_{\left( P \right)}},{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right]$$ = \left( {2;0; – 2} \right)$$ = 2\left( {1;0; – 1} \right)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta :$$\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + t \hfill \\
y = – 2 \hfill \\
z = 3 – t \hfill \\
\end{gathered} \right.$
mà điểm $M(a;b;7)$ thuộc $\Delta $ nên ta có $\left\{ \begin{gathered}
a = 1 + t \hfill \\
b = – 2 \hfill \\
7 = 3 – t \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 3 \hfill \\
b = – 2 \hfill \\
t = – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + b = – 3 + ( – 2) = – 5$.
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {2;1; – 2} \right)$và mặt phẳng $\left( P \right):3x + 2y – z + 1 = 0.$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Biết điểm $K(a;b; – 5)$ thuộc $\Delta $. Tính $a + b$.
+ $\Delta $ là đường thẳng đi qua $M\left( {2;1; – 2} \right)$
Lời giải
+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow {{u_d}} = {\overrightarrow n _{_{\left( p \right)}}} = \left( {3;2; – 1} \right)$.
Suy ra phương trình chính tắc của $\Delta $ là: $\frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ – 1}}$
Điểm $K(a;b; – 4)$ thuộc $\Delta $ nên ta có $\frac{{a – 2}}{3} = \frac{{b – 1}}{2} = \frac{{ – 5 + 2}}{{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{a – 2}}{3} = \frac{{b – 1}}{2} = 3$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{a – 2}}{3} = 3 \hfill \\
\frac{{b – 1}}{2} = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 11 \hfill \\
b = 7 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + b = 11 + 7 = 18$.
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $B(1;1;2)$, $C(1; – 1;0)$ và $D(0;0;1)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$. Biết điểm $K(a;b;6)$ thuộc $\Delta $. Tính $a + b$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {BC} = (0; – 2; – 2)$, $\overrightarrow {BD} = ( – 1; – 1; – 1)$;
Mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (0;2; – 2)$
+ Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {0;2; – 2} \right)$.
+ $\Delta $ đi qua $B(1;1;2)$.
Suy ra $\Delta $ có phương trình là$\left\{ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
y = 1 + 2t \hfill \\
z = 2 – 2t \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Ta lại có điểm $K(a;b;6)$ thuộc $\Delta $ nên ta có $\left\{ \begin{gathered}
a = 1 \hfill \\
b = 1 + 2t \hfill \\
6 = 2 – 2t \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 1 \hfill \\
b = – 3 \hfill \\
t = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + b = 1 + ( – 3) = – 2$.
Câu 7. Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( {1;0;2} \right),B\left( {1;2;1} \right),C\left( {3;2;0} \right)$ và $D\left( {1;1;3} \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$. Biết điểm $K( – 4;b;c)$ thuộc $d$. Tính $b + c$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {2;0; – 1} \right)$, $\overrightarrow {BD} = \left( {0; – 1;2} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_{BCD}}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { – 1; – 4; – 2} \right)$
Mà $d$ đi qua $A\left( {1;0;2} \right)$ nên $d$ có phương trình $\left\{ \begin{gathered}
x = 2 + t \hfill \\
y = 4 + 4t \hfill \\
z = 4 + 2t \hfill \\
\end{gathered} \right..$
Ta lại có điểm $K( – 4;b;c)$ thuộc $d$ nên $\left\{ \begin{gathered}
– 4 = 2 + t \hfill \\
b = 4 + 4t \hfill \\
c = 4 + 2t \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
t = – 6 \hfill \\
b = 4 + 4.( – 6) = – 20 \hfill \\
c = 4 + 2.( – 6) = – 8 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $b + c = – 20 + ( – 8) = – 28$.
Câu 8. Trong không gian $Oxyz,$ gọi $\Delta $ là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $x + z – 5 = 0$ và $x – 2y – z + 3 = 0$. Biết điểm $K(a; – 1;c)$ thuộc $\Delta $. Tính $a + c$.
Lời giải
$\left( P \right):\,\,x + z – 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$.
$\left( Q \right):\,\,x – 2y – z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)$.
Ta có: Một vectơ chỉ phương của $\Delta $ $\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2\,;2\,;\, – 2} \right) = 2.(1;1; – 1)$.
Lấy $M\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)$thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, tức là $\Delta $ đi qua $M\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)$
Suy ra $\Delta $ có phương trình $\Delta $ là: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}$.
Ta lại có điểm $K(a; – 1;c)$ thuộc $\Delta $ nên $\frac{{a – 2}}{1} = \frac{{ – 1 – 1}}{1} = \frac{{c – 3}}{{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{a – 2}}{1} = – 2 = \frac{{c – 3}}{{ – 1}}$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{a – 2}}{1} = – 2 \hfill \\
\frac{{c – 3}}{{ – 1}} = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 0 \hfill \\
c = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + c = 0 + 5 = 5$.
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 1;3;2} \right),\,\,B\left( {2;0;5} \right),\,\,C\left( {0; – 2;1} \right)$. Biết điểm $K(a;b;3)$ thuộc đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$. Tính $a + b$.
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm $BC$.
Khi đó $M\left( {1; – 1;3} \right)$
Ta có vectơ chỉ phương của $AM$ là $\overrightarrow {AM} = \left( {2; – 4;1} \right)$
Ta lại có $AM$ đi qua $A\left( { – 1;3;2} \right)$.
Suy ra $AM:\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 3}}{{ – 4}} = \frac{{z – 2}}{1}$
mà $K(a;b;3)$ thuộc đường trung tuyến $AM$
nên $\frac{{a + 1}}{2} = \frac{{b – 3}}{{ – 4}} = \frac{{3 – 2}}{1}$$ \Leftrightarrow \frac{{a + 1}}{2} = \frac{{b – 3}}{{ – 4}} = 1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{a + 1}}{2} = 1 \hfill \\
\frac{{b – 3}}{{ – 4}} = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 1 \hfill \\
b = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + b = 1 + ( – 1) = 0$.
Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;4; – 5} \right)$ và mặt phẳng $(P):x + y – 2z + 3 = 0$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ vuông góc với $OA$ và song song với $(P)$. Biết điểm $K(a;b;2025)$ thuộc $\Delta $. Tính $a + b$.
Lời giải
+ $\Delta $ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$.
+ $\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {OA} = \left( {1;4; – 5} \right) \hfill \\
\overrightarrow {{n_P}} = (1;1; – 2) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow $$\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right]$$ = ( – 3; – 3; – 3)$$ = – 3.(1;1;1)$
Suy ra $\left\{ \begin{gathered}
x = t \hfill \\
y = t \hfill \\
z = t \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Ta lại có điểm $K(a;b;2025)$ thuộc $\Delta $ nên ta có $\left\{ \begin{gathered}
a = t \hfill \\
b = t \hfill \\
2025 = t \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 2025 \hfill \\
b = 2025 \hfill \\
t = 2025 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + b = 2025 + 2025 = 4050$.
