Trắc nghiệm các yếu tố liên quan đến mặt phẳng trong không gian oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến, điểm thuộc và không thuộc mặt phẳng
Phương pháp: Cho $\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})$. Khi đó, tích có hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\overrightarrow b $ là:
$\left[ {\vec a,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{gathered}
{a_2} {a_3} \hfill \\
{b_2} {b_3} \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
{a_3} {a_1} \hfill \\
{b_3} {b_1} \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
{a_1} {a_2} \hfill \\
{b_1} {b_2} \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right)\,$$ = \left( {{a_2}{b_3} – {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} – {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)$
Chú ý:
+ Nếu $\vec n = \left[ {\vec a,\overrightarrow b } \right]$ thì vectơ $\vec n$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec a$ và $\overrightarrow b $
+ $\vec a$ và $\overrightarrow b $ cùng phương $ \Leftrightarrow \left[ {\vec a,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0 $
+ $(P):Ax + By + Cz + D = 0$ thì $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;3; – 1} \right)$và vectơ $\overrightarrow b = \left( {0;5;4} \right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow c $là tích có hướng của $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $.
A. $\overrightarrow c = \left( {17; – 8;10} \right)$. B. $\overrightarrow c = \left( { – 17;8; – 10} \right)$. C. $\overrightarrow c = \left( {17; – 8; – 10} \right)$. D. $\overrightarrow c = \left( {10;17; – 8} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức tính tích có hướng ta có:
$\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{gathered}
3\,\,\,\, – 1 \hfill \\
5\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
– 1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
4\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
2\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right)$$ = \left( {17; – 8;10} \right)$
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;1; – 2} \right)$và vectơ $\overrightarrow b = \left( {1;0;2} \right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow c $ là tích có hướng của $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $.
A. $\overrightarrow c = \left( {2;6; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow c = \left( {4;6; – 1} \right)$. C. $\overrightarrow c = \left( {4; – 6; – 1} \right)$. D. $\overrightarrow c = \left( {2; – 6; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Áp dụng công thức tính tích có hướng ta có:
$\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{gathered}
1\,\,\, – 2 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
– 2\,\,\,\,2 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
2\,\,\,\,\,\,1 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right) = \left( {2; – 6; – 1} \right)$
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;1; – 3)$, $B(0; – 2;5)$ và $C(1;1;3)$. Tìm tọa độ vectơ $\vec n$ là tích có hướng của $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $.
A. $\vec n = (8;4; – 3)$. B. $\vec n = ( – 18;0; – 3)$. C. $\vec n = ( – 18;4; – 3)$. D. $\vec n = (1;4; – 3)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( – 2; – 3;8)$ và $\overrightarrow {AC} = ( – 1;0;6)$
$ \Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( – 18;4; – 3)$
Vậy: $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( – 18;4; – 3)$.
Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, tọa độ một vectơ $\overrightarrow n $ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;1; – 2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {1;0;3} \right)$ là
A. $\left( {2;3; – 1} \right)$. B. $\left( {3;5; – 2} \right)$. C. $\left( {2; – 3; – 1} \right)$. D. $\left( {3; – 5; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; – 5; – 1} \right)$.
Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. $x – 3{y^2} + z – 1 = 0$. B. ${x^2} + 2y + 4z – 2 = 0$.
C. $2x – 3y + 4z – 2024 = 0$. D. $2x – 3y + 4{z^2} – 2025 = 0$.
Lời giải
Chọn C
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: $2x – 3y + 4z – 2024 = 0$.
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x – y + 2z – 1 = 0$. Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của $(P)$?
A. $\overrightarrow n = ( – 3;1; – 2)$. B. $\overrightarrow n = (3;1;2)$ C. $\overrightarrow n = (3; – 1;2)$ D. $\overrightarrow n = (6; – 2;4)$
Lời giải
Chọn B
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là: $\overrightarrow n = (3; – 1;2)$.
$\overrightarrow n = ( – 3;1; – 2) = – 1(3; – 1;2)$ là một vec tơ pháp tuyến của $(P)$
$\overrightarrow n = (6; – 2;4) = 2(3; – 1;2)$ là một vec tơ pháp tuyến của $(P)$
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ ?
A. $\vec i = \left( {1;0;0} \right)$ B. $\vec m = \left( {1;1;1} \right)$ C. $\vec j = \left( {0;1;0} \right)$ D. $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$
Lời giải
Chọn D
Do mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ vuông góc với trục $Oz$ nên nhận vectơ $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$ làm một véc tơ pháp tuyến
Câu 8. Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y + 1 = 0$ ?
A. $\vec a = \left( {2; – 3;1} \right)$ B. $\vec b = \left( {2;1; – 3} \right)$ C. $\overrightarrow c = \left( {2; – 3;0} \right)$ D. $\vec d = \left( {3;2;0} \right)$
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một VTPT là $\vec n = \left( {2; – 3;0} \right) = \vec c$.
Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{{ – 2}} + \frac{y}{{ – 1}} + \frac{z}{3} = 1$ là
A. $\vec n = \left( {3;6; – 2} \right)$ B. $\vec n = \left( {2; – 1;3} \right)$ C. $\vec n = \left( { – 3; – 6; – 2} \right)$ D. $\vec n = \left( { – 2; – 1;3} \right)$
Lời giải
Chọn A
Phương trình $\frac{x}{{ – 2}} + \frac{y}{{ – 1}} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow – \frac{1}{2}x – y + \frac{1}{3}z – 1 = 0. \Leftrightarrow 3x + 6y – 2z + 6 = 0$.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\vec n = \left( {3;6; – 2} \right)$.
Câu 9. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $\left( P \right):2x – y + z – 2 = 0$.
A. $Q\left( {1; – 2;2} \right)$. B. $P\left( {2; – 1; – 1} \right)$. C. $M\left( {1;1; – 1} \right)$. D. $N\left( {1; – 1; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn D
+Thay tọa độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được $2.1 – \left( { – 2} \right) + 2 – 2 = 4 \ne 0$ nên $Q \notin \left( P \right)$.
+Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được $2.2 – \left( { – 1} \right) + \left( { – 1} \right) – 2 = 2 \ne 0$ nên $P \notin \left( P \right)$.
+Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được $2.1 – 1 + \left( { – 1} \right) – 2 = – 2 \ne 0$ nên $M \notin \left( P \right)$.
+Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được $2.1 – \left( { – 1} \right) + \left( { – 1} \right) – 2 = 0$ nên $N \in \left( P \right)$.
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y + z – 6 = 0$. Điểm nào dưới đây không thuộc $\left( \alpha \right)$ ?
A. $Q\left( {3;3;0} \right)$ B. $N\left( {2;2;2} \right)$ C. $P\left( {1;2;3} \right)$ D. $M\left( {1; – 1;1} \right)$
Lời giải
Chọn D
A. $Q\left( {3;3;0} \right)$ Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y + z – 6 = 0$ $ \Rightarrow 3 + 3 + 0 – 6 = 0 \Rightarrow Q \in \left( \alpha \right)$
B. $N\left( {2;2;2} \right)$ Thay toạ độ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y + z – 6 = 0$ $ \Rightarrow 2 + 2 + 2 – 6 = 0 \Rightarrow N \in \left( \alpha \right)C.P\left( {1;2;3} \right)$ Thay toạ độ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y + z – 6 = 0 \Rightarrow 1 + 2 + 3 – 6 = 0 \Rightarrow P \in \left( \alpha \right)$
D. $M\left( {1; – 1;1} \right)$ Thay toạ độ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y + z – 6 = 0$ $ \Rightarrow 3 + 3 + 0 – 6 = 0 \Rightarrow M \notin \left( \alpha \right)$
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + z – 5 = 0$. Điểm nào dưới đây thuộc $\left( P \right)$ ?
A. $P\left( {0;0; – 5} \right)$ B. $M\left( {1;1;6} \right)$ C. $Q\left( {2; – 1;5} \right)$ D. $N\left( { – 5;0;0} \right)$
Lời giải
Chọn B
Ta có $1 – 2.1 + 6 – 5 = 0$ nên $M\left( {1;1;6} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.
Câu 12. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ không đi qua điểm nào dưới đây?
A. $P\left( {0;2;0} \right)$. B. $N\left( {1;2;3} \right)$. C. $M\left( {1;0;0} \right)$. D. $Q\left( {0;0;3} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Thế tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta có: $\frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 1$.
Vậy mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ không đi qua điểm $N\left( {1;2;3} \right)$.
Câu 13. Trong không gianOxyz,mặt phẳng $\left( \alpha \right):x – y + 2z – 3 = 0$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $M\left( {1;1;\frac{3}{2}} \right)$. B. $N\left( {1; – 1; – \frac{3}{2}} \right)$. C. $P\left( {1;6;1} \right)$. D. $Q\left( {0;3;0} \right)$
Lời giải
Chọn A
Xét điểm $M\left( {1;1;\frac{3}{2}} \right)$,ta có: $1 – 1 + 2 \cdot \frac{3}{2} – 3 = 0$ đúng nên $M \in \left( \alpha \right)$ nên A đúng.
Xét điểm $N\left( {1; – 1; – \frac{3}{2}} \right)$,ta có: $1 + 1 + 2.\left( { – \frac{3}{2}} \right) – 3 = 0$ sai nên $N \notin \left( \alpha \right)$ nên B sai.
Xét điểm $P\left( {1;6;1} \right)$,ta có: $1 – 6 + 2.1 – 3 = 0$ sai nên $P \notin \left( \alpha \right)$ nên C sai.
Xét điểm $Q\left( {0;3;0} \right)$,ta có: $0 – 3 + 2.0 – 3 = 0$ sai nên $Q \notin \left( \alpha \right)$ nên D sai.
Dạng 2: Hai mặt phẳng song song, vuông góc; khoảng cách một điểm đến mặt phẳng
Phương pháp:
Cho mặt phẳng $(\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ là: $d({M_0},(\alpha )) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Chú ý: Nếu $(P)//(Q)$ và
$\left( P \right):Ax + By + Cz + {D_1} = 0;\,$$\,\left( Q \right)Ax + By + Cz + {D_2} = 0$
$ \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$ =$\frac{{\left| {{D_2} – {D_1}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Câu 14. Khoảng cách từ điểm $M\left( {3;\,\,2;\,\,1} \right)$ đến mặt phẳng (P): $Ax + Cz + D = 0$, $A.C.D \ne 0$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. $d(M,(P)) = \frac{{\left| {3A + C + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {C^2}} }}$ B. $d(M,(P)) = \frac{{\left| {A + 2B + 3C + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$
C. $d(M,(P)) = \frac{{\left| {3A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {C^2}} }}.$ D. $d(M,(P)) = \frac{{\left| {3A + C + D} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }}.$
Lời giải
Chọn A
Áp dung công thức$d({M_0},(\alpha )) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Ta được: $d(M,(P)) = \frac{{\left| {3A + C + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {C^2}} }}$
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ $\left( P \right)$, cho mặt phẳng $M$ có phương trình: $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 \left( 1 \right)$ và điểm $\overrightarrow {MA} = \left( {a – 3; – 2; – 1} \right);\overrightarrow {MB} = \left( { – 3;b – 2; – 1} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {0; – b;c} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { – a;0;c} \right)$. Tính khoảng cách $ABC$ từ $\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\
\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
2b = c \hfill \\
3a = c \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( 2 \right)$ đến $\left( 1 \right)$.
A. $a = \frac{{14}}{3};b = \frac{{14}}{2};c = 14$. B. $\left( P \right)$. C. $3x + 2y + z – 14 = 0$. D. $\left( P \right)$.
Lời giải
Chọn C
Khoảng cách $3x + 2y + z + 14 = 0.$từ $A$đến $\left( P \right)$là $d(A,\,(P)) = \frac{{\left| {3{x_A} + 4{y_A} + 2{z_A} + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }}$$ = \frac{{\left| {3 – 8 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {29} }}$
$ \Rightarrow d(A,\,(P)) = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$
Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – 2y + z – 1 = 0$. Khoảng cách từ điểm $M\left( { – 1;2;0} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng
A. $5$. B. $2$. C. $\frac{5}{3}$. D. $\frac{4}{3}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { – 1} \right) – 2.2 + 0 – 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{3}$.
Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách từ $M\left( {1;2; – 3} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,x + 2y + 2z – 10 = 0$.
A. $\frac{{11}}{3}$. B. $3$. C. $\frac{7}{3}$. D. $\frac{4}{3}$.
Lời giải
Chọn A
$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { – 3} \right) – 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }}$$ = \frac{{\left| { – 11} \right|}}{3} = \frac{{11}}{3}$.
Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – y + 2z – 4 = 0$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {3\,;\,1\,;\, – 2} \right)$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Độ dài đoạn thẳng $MH$ là
A. $2$. B. $\frac{1}{3}$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
Chọn C
Khoảng cách từ điểm $M\left( {3;1; – 2} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$: $MH = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 – 1 + 2.\left( { – 2} \right) – 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1$.
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {1; – 2;3} \right)$ lên mặt phẳng $\left( P \right):2x – y – 2z + 5 = 0$. Độ dài đoạn thẳng $AH$ là
A. $3$. B. $7$. C. $4$. D. $1$.
Lời giải
Chọn D
$AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 – 6 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = 1$.
Câu 20. Khoảng cách từ điểm $M\left( { – 4; – 5;6} \right)$ đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng:
A. 6 và 4. B. 6 và 5. C. 5 và 4. D. 4 và 6.
Lời giải
Chọn A
$d\left( {M,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_M}} \right| = 6$; $d(M,(Oyz)) = \left| {{x_M}} \right| = 4.$
Câu 21. Tính khoảng cách từ điểm $B\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$đến mặt phẳng (P): y + 1 = 0. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. ${y_0}.$ B. $\left| {{y_0}} \right|.$ C. $\frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}.$ D.$\left| {{y_0} + 1} \right|.$
Lời giải
Chọn D
Câu 22. Khoảng cách từ điểm $C\left( { – 2;\,\,0;\,\,0} \right)$ đến mặt phẳng (Oxy) bằng:
A. 0. B. 2. C. 1. D. $\sqrt 2 .$
Lời giải
Chọn A
Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên $d\left( {C,(Oxy)} \right) = 0$
Câu 23. Trong không gian $Oxyz$, Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z – 10 = 0$ và $\left( Q \right):x + 2y + 2z – 3 = 0$bằng:
A. $\frac{4}{3}$ B. $\frac{8}{3}$. C. $\frac{7}{3}$. D. $3$.
Lời giải
Chọn C
Lấy $A\left( {2;1;3} \right) \in \left( P \right)$.Do $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$ nên
Ta có $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2.1 + 2.3 – 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{7}{3}$
Câu 24. Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z – 1 = 0$ và $\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0$ là
A. $\frac{7}{{\sqrt {14} }}$ B. $\frac{8}{{\sqrt {14} }}$ C. $14$ D. $\frac{5}{{\sqrt {14} }}$
Lời giải
Chú ý:
Công thức tính nhan $\left( P \right):Ax + By + Cz + {D_1} = 0;\,$$\,\left( Q \right)Ax + By + Cz + {D_2} = 0$
d$\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$ =$\frac{{\left| {{D_2} – {D_1}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Chọn A
$\left( P \right):x + 2y + 3z – 1 = 0$ $\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0$.
Ta có: $\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{3}{3} \ne \frac{{ – 1}}{6}$ nên $(P)//(Q)$
Áp dụng công thức: d$\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$ $ = \frac{{\left| { – 1 – 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$.
Câu 25. Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z – 8 = 0$ và $\left( Q \right):x + 2y + 2z – 4 = 0$ bằng
A. 1. B. $\frac{4}{3}$. C. 2. D. $\frac{7}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\left\{ \begin{gathered}
\left( P \right)//\left( Q \right) \hfill \\
A\left( {8;0;0} \right) \in \left( P \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow $$d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\left( Q \right)} \right)$$ = \frac{{\left| {8 + 2.0 + 2.0 – 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{3}.$
Nhận xét:
Nếu mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d$ và $\left( Q \right):ax + by + cz + d’$ $\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)$ song song với nhau $\left( {d \ne d’} \right)$ thì $d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {d – d’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$
Câu 26. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):2x + y + z – 2 = 0$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. $2x – y – z – 2 = 0$. B. $x – y – z – 2 = 0$. C. $x + y + z – 2 = 0$. D. $2x + y + z – 2 = 0$.
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;1} \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right):\,\,x – y – z – 2 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; – 1; – 1} \right)$.
Mà $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 2 – 1 – 1 = 0$$ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)$.
Vậy mặt phẳng $x – y – z – 2 = 0$ là mặt phẳng cần tìm.
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x + my + 3z – 5 = 0$ và$\left( Q \right):nx – 8y – 6z + 2 = 0$, với $m,n \in \mathbb{R}$. Xác định $m,n$ để $\left( P \right)$song song với $\left( Q \right)$.
A. $m = n = – \;4$. B. $m = 4;n = – \;4$. C. $m = – \;4;n = 4$. D. $m = n = 4$.
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\mathop {{n_1}}\limits^ \to \left( {2;m;3} \right)$
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\mathop {{n_2}}\limits^ \to \left( {n; – \;8; – \;6} \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow \mathop {{n_1}}\limits^ \to = k\mathop {{n_2}}\limits^ \to \;(k \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
2 = kn \hfill \\
m = – \;8k \hfill \\
3 = – \;6k \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
k = – \frac{1}{2} \hfill \\
m = 4 \hfill \\
n = – \;4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Câu 28. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x–2y + 2z–3 = 0$ và $\left( Q \right):mx + y–2z + 1 = 0$. Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau?
A. $m = 1$ B. $m = – 1$ C. $m = – 6$ D. $m = 6$
Lời giải
Chọn D
Hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi
$1.m – 2.1 + 2.\left( { – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 6$
Câu 29. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng ba mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z – 1 = 0$, $\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0$ và $\left( R \right): – x + 2y + nz = 0$. Tính tổng $m + 2n$, biết rằng $\left( P \right) \bot \left( R \right)$ và $\left( P \right)//\left( Q \right)$
A. $ – 6$. B.1. C. 0. D. 6.
Lời giải
Chọn C
$\left( P \right):x + y + z – 1 = 0$ có VTPT $\overrightarrow a = \left( {1;1;1} \right)$
$\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0$ có VTPT $\overrightarrow b = \left( {2;m;2} \right)$
$\left( R \right): – x + 2y + nz = 0$ có VTPT $\overrightarrow c = \left( { – 1;2;n} \right)$
$\left( P \right) \bot \left( R \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0 \Leftrightarrow n = – 1$
$\left( P \right)//\left( Q \right) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 2$
Vậy $m + 2n = 2 + 2\left( { – 1} \right) = 0$
Câu 30. Trong không gian $Oxyz$, cho $\left( P \right):x + y – 2z + 5 = 0$ và $\left( Q \right):4x + \left( {2 – m} \right)y + mz – 3 = 0$, $m$ là tham số thực. Tìm tham số $m$ sao cho mặt phẳng $\left( Q \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
A. $m = – 3$. B. $m = – 2$. C. $m = 3$. D. $m = 2$.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1; – 2} \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {4;2 – m;m} \right)$.
Ta có: $\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = 0 \Leftrightarrow 4.1 + 2 – m – 2m = 0 \Leftrightarrow m = 2$.
Nên $m = 2$.
Câu 31. Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2y – z – 1 = 0$ và $\left( \beta \right):2x + 4y – mz – 2 = 0.$ Tìm $m$ để hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song với nhau.
A. $m = 1$. B. Không tồn tại $m$. C. $m = – 2$. D. $m = 2$.
Lời giải
Chọn B
Ta có vec tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; – 1} \right)$, vec tơ pháp tuyến của $\left( \beta \right)$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;4; – m} \right)$.
Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song khi $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{ – m}}{{ – 1}} \ne \frac{{ – 2}}{{ – 1}}$
Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn điều kiện trên.
Câu 32. Trong không gian toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x + 2y – 2z – 1 = 0$, mặt phẳng nào dưới đây song song với $\left( P \right)$ và cách $\left( P \right)$một khoảng bằng $3$.
A. $(Q):x + 2y – 2z + 8 = 0$. B. $\left( Q \right):x + 2y – 2z + 5 = 0$.
C. $(Q):x + 2y – 2z + 1 = 0$. D. $\left( Q \right):\,x + 2y – 2z + 2 = 0$.
Lời giải
Chọn A
+ Ta có: $(P):x + 2y – 2z – 1 = 0$, chọn $A\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)$.
+ Xét đáp án A, ta có $d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = 3.$ Vậy đáp án A thoả mãn.
