Đề kiểm tra HK1 môn Toán 12 năm 2023-2024 giải chi tiết-Đề 9 được soạn dưới dạng file Word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$ ?
A. $y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}$. B. $y = {x^3} + x$. C. $y = – {x^3} – 3x$. D. $y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}$.
Câu 2: Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = – {x^3} + 4{x^2} + 1$ B. $y = {x^3} – 3{x^2} + 4$ C. $y = – {x^4} + 2{x^2} + 10$ D. $y = {x^4} – 9{x^2} + 1$.
Câu 3: Hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 22x$ trên đoạn $\left[ {5;22} \right]$ bằng
A. 15 . B. 17 . C. 22 . D. 37 .
Câu 5: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. $y = \frac{{x + 3}}{{x – 1}}$. B. $y = \frac{{x – 3}}{{x – 1}}$. C. $y = {x^2} – 4x + 1$. D. $y = {x^3} – 3x – 5$.
Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}$ là
A. $x = 2$. B. $x = – 2$. C. $x = 1$. D. $x = – 1$.
Câu 7: Hàm số nào dưới đây không là hàm số lũy thừa?
A. $y = \frac{1}{{{x^4}}}$. B. $y = {x^{ – \sqrt 2 }}$. C. $y = {e^x}$. D. $y = {x^\pi }$.
Câu 8: Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b \ne 1$, mệnh đề nào sau đây sai?
A. $lo{g_a}\left( {xy} \right) = lo{g_a}x + lo{g_a}y$. B. $lo{g_a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{lo{g_a}x}}$.
C. $lo{g_b}a \cdot lo{g_a}x = lo{g_b}x$. D. $lo{g_a}\frac{x}{y} = lo{g_a}x – lo{g_a}y$.
Câu 9: Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý và $b \ne 1$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $lna + lnb = ln\left( {a + b} \right)$. B. $ln\left( {a + b} \right) = lna \cdot lnb$. C. $lna – lnb = ln\left( {a – b} \right)$. D. $lo{g_b}a = \frac{{lna}}{{lnb}}$.
Câu 10: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = lo{g_3}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)$.
A. $D = \left( {1;3} \right)$. B. $D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
C. $D = \left( { – \infty ;2 – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)$. D. $D = \left( {2 – \sqrt 2 ;1} \right) \cup \left( {3;2 + \sqrt 2 } \right)$.
Câu 11: Hàm số $y = {2^{{x^2} – x}}$ có đạo hàm là
A. ${2^{{x^2} – x}} \cdot ln2$. B. $\left( {2x – 1} \right) \cdot {2^{{x^2} – x}} \cdot ln2$. C. $\left( {{x^2} – x} \right) \cdot {2^{{x^2} – x – 1}}$. D. $\left( {2x – 1} \right) \cdot {2^{{x^2} – x}}$.
Câu 12: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 1$ là
A. $S = \left\{ { – 1;0} \right\}$. B. $S = \left\{ {0;1} \right\}$. C. $S = \left\{ 0 \right\}$. D. $S = \left\{ { – 1} \right\}$.
Câu 13: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 3$ là
A. $x = 8$. B. $x = 10$. C. $x = 7$. D. $x = 9$.
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình ${5^x} > 2$ là
A. $\left( { – \infty ;lo{g_5}2} \right)$. B. $\left( {lo{g_5}2; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ;lo{g_2}5} \right)$. D. $\left( {lo{g_2}5; + \infty } \right)$.
Câu 15: Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
Hình bát diện đều có 12 cạnh.
A. 8 canh. B. 6 cạnh. C. 12 cạnh. D. 20 cạnh.
Câu 16: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B = 6{a^2}$ và chiều cao $h = 2a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $12{a^3}$. B. $4{a^3}$. C. $3{a^3}$. D. $6{a^3}$.
Câu 17: Cho hình trụ có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. ${S_{xq}} = 4\pi rl$. B. ${S_{xq}} = 2\pi rl$. C. ${S_{xq}} = 3\pi rl$. D. ${S_{xq}} = \pi rl$.
Câu 18: Cho hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. ${S_{xq}} = 4\pi rl$. B. ${S_{xq}} = \pi rl$. C. ${S_{xq}} = 3\pi rl$. D. ${S_{xq}} = 2\pi rl$.
Câu 19: Cho hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường $sinhl$. Diện tích toàn phần ${S_{tp}}$ của hình nón đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {l^2}$. B. ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$. C. ${S_{tp}} = \frac{1}{3}\pi rl$. D. ${S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2}$.
Câu 20: Cho khối cầu có bán kính $r$. Thể tích $V$ của khối cầu đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $V = \frac{3}{4}\pi {r^3}$. B. $V = \frac{4}{3}\pi {r^3}$. C. $V = \frac{3}{4}{\pi ^3}r$. D. $V = \frac{4}{3}{\pi ^3}r$.
Câu 21: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = x + 2023$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( { – 2023; + \infty } \right)$. B. $\left( {2023; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ; – 2023} \right)$. D. $\left( { – \infty ;2023} \right)$.
Câu 22: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = x\left( {x – 1} \right){(x + 2)^3},\forall x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 .
Câu 23: Trên đoạn $\left[ { – 4; – 1} \right]$, hàm số $y = {x^4} – 8{x^2} + 13$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào trong các điểm sau?
A. $x = – 2$. B. $x = – 1$. C. $x = – 4$. D. $x = – 3$.
Câu 24: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\left( {a,b,c \in R} \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Trong các số $a,b$ và $c$ có bao nhiêu số dương?
A. 1 B. 3 . C. 2 . D. 0 .
Câu 25: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}}$.
A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 .
Câu 26: Cho $a$ là số thực dương. Rút gọn của biểu thức $P = {a^{\frac{4}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{m}{n}}}$ với $\frac{m}{n}$ tối giản, $n > 0$. Khi đó $m + n$ bằng
A. 5 . B. 11 . C. 17 . D. 6 .
Câu 27: Cho hàm số $y = {e^3}x + {e^{ – x}}$. Nghiệm của phương trình $y’ = 0$ là
A. $x = – 3$. B. $x = 0$. C. $x = ln3$. D. $x = ln2$.
Câu 28: Đạo hàm cấp hai $y”$ của hàm số $y = ln\left( {3x + 2} \right)$ là
Ta có $y’ = \frac{3}{{3x + 2}};y” = – \frac{9}{{{{(3x + 2)}^2}}}$.
A. $y” = 3l{n^2}\left( {3x + 2} \right)$. B. $y” = \frac{{ – 9}}{{3x + 2}}$. C. $y” = \frac{3}{{{{(3x + 2)}^2}}}$. D. $y” = \frac{{ – 9}}{{{{(3x + 2)}^2}}}$.
Câu 29: Hàm số $y = log\left( {{x^2} – 2x + m + 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi
A. $m > 0$. B. $0 < m < 3$. C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{m < – 1}
\end{array}} \right.$. D. $m = 0$.
Câu 30: Số nghiệm thực của phương trình $\frac{{{x^2} + 5x – 8}}{{ln\left( {x – 1} \right)}} = 0$ là?
A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1 .
Câu 31: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{2x + 1}} – 5 \cdot {2^x} + 2 = 0$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{3}{2}$. B. 1 . C. $\frac{5}{2}$. D. 0 .
Câu 32: Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 .
Câu 33: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $a\sqrt 2 ,SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = 2a$. Tính thể tích khối chóp $S \cdot ABCD$.
A. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$. B. $V = 4{a^3}$. C. $V = 2{a^3}$. D. $V = \frac{{4{a^3}}}{3}$.
Câu 34: Hình nón có góc ở đỉnh bằng ${60^ \circ }$ và chiều cao bằng $\sqrt 3 $. Độ dài đường sinh của hình nón bằng
A. 2 . B. $2\sqrt 2 $. C. $2\sqrt 3 $. D. 3 .
Câu 35: Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích $16\pi {a^2}$ quanh một trong những đường kính, ta được khối tròn xoay có thể tích là
A. $\frac{{64}}{3}\pi {a^3}$. B. $\frac{{128}}{3}\pi {a^3}$. C. $\frac{{256}}{3}\pi {a^3}$. D. $\frac{{32}}{3}\pi {a^3}$.
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $\left[ { – 2023;2023} \right]$ để hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2x + m + 2} \right)^{\sqrt 2 }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ ?
A. 2024 . B. 2023 . C. 4045 . D. 4044 .
Câu 37: Cho hàm số $f\left( x \right) = 2022 – ln\left( {\frac{{x + 2}}{x}} \right)$. Tính tổng $S = f’\left( 1 \right) + f’\left( 3 \right) + \ldots + f’\left( {2023} \right)$.
A. $S = \frac{{2024}}{{2025}}$ B. $S = \frac{{2026}}{{2025}}$. C. $S = \frac{{2024}}{{2023}}$. D. $S = \frac{{2022}}{{2023}}$.
Câu 38: Biết phương trình ${9^{lo{g_4}x}} – {12.3^{lo{g_4}x}} + {3^{lo{g_2}8}} = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Khi đó $x_1^2 + x_2^2$ bằng
Điều kiện: $x > 0$.
A. 90 . B. 10 . C. 20 . D. 272 .
Câu 39: Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình ${4^x} – m \cdot {2^{x + 1}} + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} = 3$ ?
A. $m = 2$. B. $m = 1$. C. $m = 3$. D. $m = 4$.
Câu 40: Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} \cdot {2^{2x}} + 9\left( {x + 2} \right) \cdot {2^x} + 8{x^2} \leqslant \left( {x + 2} \right) \cdot {2^{2x}} + 9{x^2} \cdot {2^x} + 8x + 16$ là
A. $\left( { – \infty ; – 1\left] \cup \right[0;2} \right]$. B. $\left[ { – 1;0\left] \cup \right[2;3} \right]$. C. $\left[ {0;2\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$. D. $\left[ { – 1;0} \right) \cup \left( {2;3} \right]$.
Câu 41: Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau mà các đỉnh của tứ diện cũng là đỉnh của hình lập phương?
A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 8 .
Câu 42: Cho hình chóp tứ giác đều $S \cdot ABCD$, gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Biết góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${60^ \circ }$, khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt {30} }}{4}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$ bằng
A. $\frac{{\sqrt {10} {a^3}}}{3}$. B. $\frac{{\sqrt {30} {a^3}}}{6}$. C. $\frac{{\sqrt {30} {a^3}}}{2}$. D. $\frac{{\sqrt {10} {a^3}}}{6}$.
Câu 43: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, cạnh $SB$ vuông góc với đáy, mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ tạo với đáy một góc ${60^ \circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
A. $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$. B. $V = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{9}$. C. $V = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}$. D. $V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 44: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $ABCD$ bằng ${60^ \circ }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$. Thể tích khối chóp $S.ADNM$ là:
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}$. C. $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}$.
Câu 45: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và đáy bằng ${60^ \circ }$. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh $S$, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng
A. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{8}$. B. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}$. C. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{6}$. D. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{4}$.
Câu 46: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = f\left( {{x^3} + 2x + m} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$ ?
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 47: Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB = 25\;m$, chiều rộng $AD = 20\;m$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $MN(M,N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AD)$. Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $MN$, biết khi làm đường trên miền $ABMN$ mỗi giờ làm được $15\;m$ và khi làm trong miền $CDNM$ mỗi giờ làm được $30\;m$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.
A. $\frac{{2\sqrt 5 }}{3}$. B. $\frac{{10 + 2\sqrt {725} }}{{30}}$. C. $\frac{{20 + \sqrt {725} }}{{30}}$. D. 5 .
Câu 48: Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2mx – {m^2} + m + 1} \right)^{\frac{1}{{2024}}}}$ xác định trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ là
A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. 3 .
Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ nhỏ hơn 2021 để phương trình $lo{g_2}\left( {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right) = 2x$ có nghiệm thực không âm?
A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2021 .
Câu 50: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ sau.
Gọi ${m_0}$ là giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right) + m} \right|$ có số điểm cực trị ít nhất. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Xét hàm số $h\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right) + m$.
A. ${m_0} \in \left( { – \infty ; – 2} \right)$. B. ${m_0} \in \left( {2;3} \right)$. C. ${m_0} \in \left( {3; + \infty } \right)$. D. ${m_0} \in \left( { – 2;2} \right)$.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.C | 2.B | 3.A | 4.A | 5.B |
| 6.C | 7.C | 8.B | 9.D | 10.B |
| 11.B | 12.A | 13.D | 14.B | 15.C |
| 16.A | 17.B | 18.B | 19.B | 20.B |
| 21.A | 22.B | 23.A | 24.A | 25.C |
| 26.C | 27.A | 28.D | 29.A | 30.D |
| 31.D | 32.D | 33.D | 34.A | 35.C |
| 36.A | 37.A | 38.D | 39.D | 40.B |
| 41.B | 42.B | 43.C | 44.A | 45.C |
| 46.B | 47.A | 48.C | 49.C | 50.B |
HƯỚNG DÃ̃N GIẢI CHI TIÊT
Câu 1: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$ ?
A. $y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}$.
B. $y = {x^3} + x$.
C. $y = – {x^3} – 3x$.
D. $y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}$.
Lời giải
Ta có: $y = – {x^3} – 3x \Rightarrow y’ = – 3{x^2} – 3 < 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$. Nên ta chọn phương án ${\mathbf{C}}$.
Câu 2: Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = – {x^3} + 4{x^2} + 1$
B. $y = {x^3} – 3{x^2} + 4$
C. $y = – {x^4} + 2{x^2} + 10$
D. $y = {x^4} – 9{x^2} + 1$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án $C$ và $D$; Mặt khác dựa vào đồ thị ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $ nên hệ số của ${x^3}$ dương nên ta chọn đáp án $B$.
Câu 3: Hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Có $y’ = \frac{5}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne – 1$ nên hàm số không có cực trị.
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 22x$ trên đoạn $\left[ {5;22} \right]$ bằng
A. 15 .
B. 17 .
C. 22 .
D. 37 .
Lời giải
Trên đoạn $\left[ {5;22} \right]$, ta có: $y’ = 3{x^2} – 22 \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \sqrt {\frac{{22}}{3}} \notin \left[ {5;22} \right]} \\
{x = \sqrt {\frac{{22}}{3}} \notin \left[ {5;22} \right]}
\end{array}} \right.$.
Ta có: $y\left( 5 \right) = 15;y\left( {22} \right) = 10164$. Vậy ${y_{min}} = 15$.
Câu 5: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. $y = \frac{{x + 3}}{{x – 1}}$.
B. $y = \frac{{x – 3}}{{x – 1}}$.
C. $y = {x^2} – 4x + 1$.
D. $y = {x^3} – 3x – 5$.
Lời giải
Đồ thị hàm số dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ và hàm số đồng biến trên tập xác định.
Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}$ là
A. $x = 2$.
B. $x = – 2$.
C. $x = 1$.
D. $x = – 1$.
Lời giải
Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 7: Hàm số nào dưới đây không là hàm số lũy thừa?
A. $y = \frac{1}{{{x^4}}}$.
B. $y = {x^{ – \sqrt 2 }}$.
C. $y = {e^x}$.
D. $y = {x^\pi }$.
Lời giải
Dựa vào định nghĩa của hàm số lũy thừa: Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)$ được gọi là hàm số lũy thừa. Các hàm số ở mỗi phương án ${\mathbf{A}},{\mathbf{B}},{\mathbf{D}}$ đều là hàm số lũy thừa.
Vậy hàm số ở phương án $C$ không là hàm số lũy thừa.
Câu 8: Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b \ne 1$, mệnh đề nào sau đây sai?
A. $lo{g_a}\left( {xy} \right) = lo{g_a}x + lo{g_a}y$.
B. $lo{g_a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{lo{g_a}x}}$.
C. $lo{g_b}a \cdot lo{g_a}x = lo{g_b}x$.
D. $lo{g_a}\frac{x}{y} = lo{g_a}x – lo{g_a}y$.
Lời giải
Theo các tính chất logarit thì các phương án ${\mathbf{A}},{\mathbf{C}}$ và ${\mathbf{D}}$ đều đúng.
Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b \ne 1$. Ta có: $lo{g_a}\frac{1}{x} = lo{g_a}{x^{ – 1}} \ne \frac{1}{{lo{g_a}x}}$.
Vậy phương án B sai.
Câu 9: Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý và $b \ne 1$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $lna + lnb = ln\left( {a + b} \right)$.
B. $ln\left( {a + b} \right) = lna \cdot lnb$.
C. $lna – lnb = ln\left( {a – b} \right)$.
D. $lo{g_b}a = \frac{{lna}}{{lnb}}$.
Lời giải
Dựa vào tích chất của logarit chỉ có khẳng định đúng là $lo{g_b}a = \frac{{lna}}{{lnb}}$ nên ta chọn phương án $D$.
Câu 10: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = lo{g_3}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)$.
A. $D = \left( {1;3} \right)$.
B. $D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
C. $D = \left( { – \infty ;2 – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)$.
D. $D = \left( {2 – \sqrt 2 ;1} \right) \cup \left( {3;2 + \sqrt 2 } \right)$.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ${x^2} – 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1} \\
{x > 3}
\end{array}} \right.$. Nên tập xác định của hàm số là: $D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 11: Hàm số $y = {2^{{x^2} – x}}$ có đạo hàm là
A. ${2^{{x^2} – x}} \cdot ln2$.
B. $\left( {2x – 1} \right) \cdot {2^{{x^2} – x}} \cdot ln2$.
C. $\left( {{x^2} – x} \right) \cdot {2^{{x^2} – x – 1}}$.
D. $\left( {2x – 1} \right) \cdot {2^{{x^2} – x}}$.
Lời giải
Ta có $y’ = {\left( {{x^2} – x} \right)’}{2^{{x^2} – x}}ln2 = \left( {2x – 1} \right) \cdot {2^{{x^2} – x}} \cdot ln2$.
Câu 12: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 1$ là
A. $S = \left\{ { – 1;0} \right\}$.
B. $S = \left\{ {0;1} \right\}$.
C. $S = \left\{ 0 \right\}$.
D. $S = \left\{ { – 1} \right\}$.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương ${x^2} + x + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { – 1;0} \right\}$.
Câu 13: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 3$ là
A. $x = 8$.
B. $x = 10$.
C. $x = 7$.
D. $x = 9$.
Lời giải
Ta có $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x – 1 = {2^3} \Leftrightarrow x = 9$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 9$.
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình ${5^x} > 2$ là
A. $\left( { – \infty ;lo{g_5}2} \right)$.
B. $\left( {lo{g_5}2; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ;lo{g_2}5} \right)$.
D. $\left( {lo{g_2}5; + \infty } \right)$.
Lời giải
Ta có ${5^x} > 2 \Leftrightarrow x > lo{g_5}2$. Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left( {lo{g_5}2; + \infty } \right)$.
Câu 15: Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A. 8 canh.
B. 6 cạnh.
C. 12 cạnh.
D. 20 cạnh.
Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Lời giải
Câu 16: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B = 6{a^2}$ và chiều cao $h = 2a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $12{a^3}$.
B. $4{a^3}$.
C. $3{a^3}$.
D. $6{a^3}$.
Lời giải
Thể tích khối lăng trụ đã cho là $V = B \cdot h = 12{a^3}$.
Câu 17: Cho hình trụ có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. ${S_{xq}} = 4\pi rl$.
B. ${S_{xq}} = 2\pi rl$.
C. ${S_{xq}} = 3\pi rl$.
D. ${S_{xq}} = \pi rl$.
Lời giải
Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình trụ đã cho là ${S_{xq}} = 2\pi rl$.
Câu 18: Cho hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. ${S_{xq}} = 4\pi rl$.
B. ${S_{xq}} = \pi rl$.
C. ${S_{xq}} = 3\pi rl$.
D. ${S_{xq}} = 2\pi rl$.
Lời giải
Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón đã cho là ${S_{xq}} = \pi rl$.
Câu 19: Cho hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường $sinhl$. Diện tích toàn phần ${S_{tp}}$ của hình nón đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {l^2}$.
B. ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$.
C. ${S_{tp}} = \frac{1}{3}\pi rl$.
D. ${S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2}$.
Lời giải
Diện tích toàn phần ${S_{tp}}$ của hình nón đã cho là ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$.
Câu 20: Cho khối cầu có bán kính $r$. Thể tích $V$ của khối cầu đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $V = \frac{3}{4}\pi {r^3}$.
B. $V = \frac{4}{3}\pi {r^3}$.
C. $V = \frac{3}{4}{\pi ^3}r$.
D. $V = \frac{4}{3}{\pi ^3}r$.
Lời giải
Thể tích $V$ của khối cầu đã cho là $V = \frac{4}{3}\pi {r^3}$.
Câu 21: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = x + 2023$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( { – 2023; + \infty } \right)$.
B. $\left( {2023; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ; – 2023} \right)$.
D. $\left( { – \infty ;2023} \right)$.
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – 2023$.
Bảng xét dấu
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – 2023; + \infty } \right)$.
Câu 22: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = x\left( {x – 1} \right){(x + 2)^3},\forall x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right){(x + 2)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 1} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$.
Bảng xét dấu
Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.
Câu 23: Trên đoạn $\left[ { – 4; – 1} \right]$, hàm số $y = {x^4} – 8{x^2} + 13$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào trong các điểm sau?
A. $x = – 2$.
B. $x = – 1$.
C. $x = – 4$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Hàm số $y = {x^4} – 8{x^2} + 13$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ { – 4; – 1} \right]$.
$y’ = 4{x^3} – 16x;y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 16x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 \in \left[ { – 4; – 1} \right]} \\
{x = 0 \notin \left[ { – 4; – 1} \right]} \\
{x = 2 \notin \left[ { – 4; – 1} \right]}
\end{array}} \right.$.
Ta có $f\left( { – 4} \right) = 141;f\left( { – 2} \right) = – 3;f\left( { – 1} \right) = 6$.
Vậy hàm số $y = {x^4} – 8{x^2} + 13$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x = – 2$.
Câu 24: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\left( {a,b,c \in R} \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Trong các số $a,b$ và $c$ có bao nhiêu số dương?
A. 1
B. 3 .
C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = \frac{1}{c} > 1 > 0 \Rightarrow c > 0$.
Đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}$ có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = – \frac{c}{b} = 2 > 0 \Rightarrow b < 0$.
Đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}$ có đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{a}{b} = 1 > 0 \Rightarrow a < 0$.
Vậy $c > 0$ và $a < 0,b < 0$.
Câu 25: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}}$.
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 0 .
Lời giải
Ta có ${x^2} – 16 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 4$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}} = \frac{5}{8}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}} = – \infty $.
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.
Câu 26: Cho $a$ là số thực dương. Rút gọn của biểu thức $P = {a^{\frac{4}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{m}{n}}}$ với $\frac{m}{n}$ tối giản, $n > 0$. Khi đó $m + n$ bằng
A. 5 .
B. 11 .
C. 17 .
D. 6 .
Lời giải
Ta có $P = {a^{\frac{4}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{4}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{{11}}{6}}}$.
Khi đó $m = 11,n = 6$. Suy ra $m + n = 17$.
Câu 27: Cho hàm số $y = {e^3}x + {e^{ – x}}$. Nghiệm của phương trình $y’ = 0$ là
A. $x = – 3$.
B. $x = 0$.
C. $x = ln3$.
D. $x = ln2$.
Lời giải
Ta có: $y’ = {e^3} – {e^{ – x}}$ cho $y’ = 0 \Leftrightarrow {e^3} – {e^{ – x}} = 0 \Leftrightarrow x = – 3$.
Câu 28: Đạo hàm cấp hai $y”$ của hàm số $y = ln\left( {3x + 2} \right)$ là
A. $y” = 3l{n^2}\left( {3x + 2} \right)$.
B. $y” = \frac{{ – 9}}{{3x + 2}}$.
C. $y” = \frac{3}{{{{(3x + 2)}^2}}}$.
D. $y” = \frac{{ – 9}}{{{{(3x + 2)}^2}}}$.
Ta có $y’ = \frac{3}{{3x + 2}};y” = – \frac{9}{{{{(3x + 2)}^2}}}$.
Lời giải
Câu 29: Hàm số $y = log\left( {{x^2} – 2x + m + 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi
A. $m > 0$.
B. $0 < m < 3$.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{m < – 1}
\end{array}} \right.$.
D. $m = 0$.
Lời giải
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + m + 1 > 0$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow \Delta = {( – 2)^2} – 4\left( {m + 1} \right)\left\langle {0 \Leftrightarrow m} \right\rangle 0$.
Câu 30: Số nghiệm thực của phương trình $\frac{{{x^2} + 5x – 8}}{{ln\left( {x – 1} \right)}} = 0$ là?
A. 3 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 1 .
Lời giải
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 > 0} \\
{ln\left( {x – 1} \right) \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 1} \\
{x \ne 2}
\end{array}} \right.} \right.$.
Với điều kiện trên, ta có: $\frac{{{x^2} + 5x – 8}}{{ln\left( {x – 1} \right)}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 5x – 8 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {57} }}{2}$ kết hợp điều kiện $ \Rightarrow x = \frac{{ – 5 + \sqrt {57} }}{2}$.
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Câu 31: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{2x + 1}} – 5 \cdot {2^x} + 2 = 0$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{3}{2}$.
B. 1 .
C. $\frac{5}{2}$.
D. 0 .
Lời giải
Đặt ${2^x} = t(t > 0)$, phương trình trở thành $2{t^2} – 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2} \\
{t = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$ (thỏa mãn).
Với, $t = 2$ ta có ${2^x} = 2 \Leftrightarrow x = 1$.
Với, $t = \frac{1}{2}$ ta có ${2^x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = – 1$.
Vậy tổng các nghiệm bằng 0 .
Câu 32: Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 9 .
Lời giải
Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng.
Câu 33: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $a\sqrt 2 ,SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = 2a$. Tính thể tích khối chóp $S \cdot ABCD$.
A. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$.
B. $V = 4{a^3}$.
C. $V = 2{a^3}$.
D. $V = \frac{{4{a^3}}}{3}$.
Lời giải
Diện tích hình vuông $ABCD$ là: ${S_{ABCD}} = {(a\sqrt 2 )^2} = 2{a^2}$.
Thể tích khối chóp $S \cdot ABCD$ là: ${V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2{a^2} \cdot 2a = \frac{{4{a^3}}}{3}$.
Câu 34: Hình nón có góc ở đỉnh bằng ${60^ \circ }$ và chiều cao bằng $\sqrt 3 $. Độ dài đường sinh của hình nón bằng
A. 2 .
B. $2\sqrt 2 $.
C. $2\sqrt 3 $.
D. 3 .
Lời giải
Ta có góc ở đỉnh của hình nón bằng ${60^ \circ }$ nên $\widehat {HOA} = {30^ \circ }$.
Trong tam giác $HAO$ vuông tại $H$ có $OA = \frac{{OH}}{{cos{{30}^ \circ }}} = 2$.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón bằng 2 .
Câu 35: Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích $16\pi {a^2}$ quanh một trong những đường kính, ta được khối tròn xoay có thể tích là
A. $\frac{{64}}{3}\pi {a^3}$.
B. $\frac{{128}}{3}\pi {a^3}$.
C. $\frac{{256}}{3}\pi {a^3}$.
D. $\frac{{32}}{3}\pi {a^3}$.
Lời giải
Gọi $R$ là bán kính đường tròn. Theo giả thiết, ta có $S = \pi {R^2} = 16\pi {a^2} \Rightarrow R = 4a$.
Khi quay miếng bìa hình tròn quanh một trong những đường kính của nó thì ta được một khối cầu. Thể tích khối cầu này là $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {R^3} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {(4a)^3} = \frac{{256}}{3}\pi {a^3}$.
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $\left[ { – 2023;2023} \right]$ để hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2x + m + 2} \right)^{\sqrt 2 }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ ?
A. 2024 .
B. 2023 .
C. 4045 .
D. 4044 .
Lời giải
Vì số mũ $\sqrt 2 \notin \mathbb{Z}$ nên hàm số xác định với $\forall x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${x^2} – 2x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ‘ < 0} \\
{a > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – m – 2 < 0} \\
{1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow m > – 1} \right.} \right.$.
Mà $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \in \left[ { – 2023;2023} \right]} \\
{m \in \mathbb{Z}}
\end{array} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;2023} \right\}} \right.$.
Vậy có 2023 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 37: Cho hàm số $f\left( x \right) = 2022 – ln\left( {\frac{{x + 2}}{x}} \right)$. Tính tổng $S = f’\left( 1 \right) + f’\left( 3 \right) + \ldots + f’\left( {2023} \right)$.
A. $S = \frac{{2024}}{{2025}}$
B. $S = \frac{{2026}}{{2025}}$.
C. $S = \frac{{2024}}{{2023}}$.
D. $S = \frac{{2022}}{{2023}}$.
Lời giải
Ta có: $f’\left( x \right) = – \frac{{{{\left( {\frac{{x + 2}}{x}} \right)}’}}}{{\frac{{x + 2}}{x}}} = \frac{2}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 2}}$.
Suy ra: $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{1} – \frac{1}{3}$ và $f’\left( 3 \right) = \frac{1}{3} – \frac{1}{5}$
$f’\left( {2023} \right) = \frac{1}{{2023}} – \frac{1}{{2025}}$.
$ \Rightarrow S = f’\left( 1 \right) + f’\left( 3 \right) + \ldots + f’\left( {2023} \right) = 1 – \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}$.
Câu 38: Biết phương trình ${9^{lo{g_4}x}} – {12.3^{lo{g_4}x}} + {3^{lo{g_2}8}} = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Khi đó $x_1^2 + x_2^2$ bằng
A. 90 .
B. 10 .
C. 20 .
D. 272 .
Điều kiện: $x > 0$.
Lời giải
Ta có ${9^{lo{g_4}x}} – {12.3^{lo{g_4}x}} + {3^{lo{g_2}8}} = 0 \Leftrightarrow {3^{2lo{g_4}x}} – {12.3^{lo{g_4}x}} + {3^3} = 0\;$ (1).
Đặt $t = {3^{lo{g_4}x}},t > 0$. (1) $ \Rightarrow {t^2} – 12t + 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3} \\
{t = 9}
\end{array}} \right.$.
Với $t = 3 \Rightarrow {3^{lo{g_4}x}} = 3 \Leftrightarrow lo{g_4}x = 1 \Leftrightarrow x = 4$.
Với $t = 9 \Rightarrow {3^{lo{g_4}x}} = {3^2} \Leftrightarrow lo{g_4}x = 2 \Leftrightarrow x = 16$.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {4;16} \right\} \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 272$.
Câu 39: Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình ${4^x} – m \cdot {2^{x + 1}} + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} = 3$ ?
A. $m = 2$.
B. $m = 1$.
C. $m = 3$.
D. $m = 4$.
Lời giải
Ta có: ${4^x} – m \cdot {2^{x + 1}} + 2m = 0 \Leftrightarrow {4^x} – 2m \cdot {2^x} + 2m = 0\left( 1 \right)$.
Đặt: $t = {2^x}(t > 0)$.
Phương trình (1) trở thành: ${t^2} – 2mt + 2m = 0\left( 2 \right)$.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} = 3$
$ \Leftrightarrow $ Phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm dương ${t_1},{t_2}$ phân biệt thỏa mãn
${t_1}{t_2} = {2^{{x_1}}}{2^{{x_2}}} = {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^3} = 8$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ‘ > 0} \\
{P = 8} \\
{S > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 2m > 0} \\
{2m = 8} \\
{2m > 0}
\end{array} \Leftrightarrow m = 4} \right.} \right.$.
Câu 40: Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} \cdot {2^{2x}} + 9\left( {x + 2} \right) \cdot {2^x} + 8{x^2} \leqslant \left( {x + 2} \right) \cdot {2^{2x}} + 9{x^2} \cdot {2^x} + 8x + 16$ là
A. $\left( { – \infty ; – 1\left] \cup \right[0;2} \right]$.
B. $\left[ { – 1;0\left] \cup \right[2;3} \right]$.
C. $\left[ {0;2\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$.
D. $\left[ { – 1;0} \right) \cup \left( {2;3} \right]$.
Lời giải
Ta có ${x^2} \cdot {2^{2x}} + 9\left( {x + 2} \right) \cdot {2^x} + 8{x^2} \leqslant \left( {x + 2} \right) \cdot {2^{2x}} + 9{x^2} \cdot {2^x} + 8x + 16$
$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x – 2} \right) \cdot {2^{2x}} – 9\left( {{x^2} – x – 2} \right) \cdot {2^x} + 8\left( {{x^2} – x – 2} \right) \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x – 2} \right) \cdot \left( {{2^{2x}} – 9 \cdot {2^x} + 8} \right) \leqslant 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – x – 2 \geqslant 0} \\
{{2^{2x}} – 9 \cdot {2^x} + 8 \leqslant 0}
\end{array}} \right.} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – x – 2 \leqslant 0} \\
{{2^{2x}} – 9 \cdot {2^x} + 8 \geqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: $S = \left[ { – 1;0\left] \cup \right[2;3} \right]$.
Câu 41: Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau mà các đỉnh của tứ diện cũng là đỉnh của hình lập phương?
A. 4 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 8 .
Lời giải
Ta chia khối lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ thành hai khối lăng trụ đứng: $ABD \cdot A’B’D’$ và $BCD \cdot B’C’D’$
Ưng với mỗi khối lăng trụ đứng trên, ta có thể chia thành ba khối tứ diện mà các đỉnh của tứ diện cũng là đỉnh của hình lập phương.
Khối lăng trụ $BCD \cdot B’C’D’$ chia thành ba khối tứ diện: $BCDB’,B’C’D’D,CDB’C’$.
Ta chứng minh các khối tứ diện này có thể tích bằng nhau như sau:
Hai khối tứ diện $B’C’D’D$ và $DCB’C’$ bằng nhau vì đối xứng với nhau qua $mp\left( {DB’C’} \right)$
Hai khối tứ diện $DCB’C’$ và $BCDB’$ bằng nhau vì đối xứng với nhau qua $mp\left( {B’CD} \right)$
(hoặc có thể chứng minh ${V_{D \cdot B’C’D’}} = {V_{B’ \cdot BCD}} = {V_{BCC’B’}} = \frac{1}{3}{V_{BCD \cdot B’C’D’}}$ )
Tương tự khối lăng trụ $ABD \cdot A’B’D’$ chia thành ba khối tứ diện có thể tích bằng nhau là: $ABCB’,A’B’D’D,ADA’B’$
Vậy có tất cả là 6 khối tứ diện có thể tích bằng nhau.
Câu 42: Cho hình chóp tứ giác đều $S \cdot ABCD$, gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Biết góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${60^ \circ }$, khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt {30} }}{4}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$ bằng
A. $\frac{{\sqrt {10} {a^3}}}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt {30} {a^3}}}{6}$.
C. $\frac{{\sqrt {30} {a^3}}}{2}$.
D. $\frac{{\sqrt {10} {a^3}}}{6}$.
Lời giải
Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AO \Rightarrow MH//SO \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)$.
$ \Rightarrow \widehat {\left( {MN,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {MN,NH} \right)} = \widehat {MNH} = {60^ \circ }$ và $d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = MH = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}$.
Ta có: $SO = 2MH = \frac{{\sqrt {30} a}}{2};NH = \frac{{MH}}{{tan{{60}^ \circ }}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}$.
Đặt $AB = x > 0 \Rightarrow CN = \frac{x}{2};CH = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4} \cdot x\sqrt 2 = \frac{{3\sqrt 2 x}}{4}$.
$H{N^2} = C{H^2} + C{N^2} – 2 \cdot CH \cdot CN \cdot cos{45^ \circ }$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = {\left( {\frac{{3\sqrt 2 x}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} – 2 \cdot \frac{{3\sqrt 2 x}}{4} \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
$ \Leftrightarrow \frac{{5{x^2}}}{8} = \frac{{5{a^2}}}{8} \Rightarrow x = a$
Vậy thể tích khối chóp $S \cdot ABCD$ là $V = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{\sqrt {30} }}{2}a = \frac{{\sqrt {30} {a^3}}}{6}$.
Câu 43: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, cạnh $SB$ vuông góc với đáy, mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ tạo với đáy một góc ${60^ \circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
A. $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.
B. $V = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{9}$.
C. $V = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
D. $V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
Lời giải
Ta có: $AD \bot AB$ (do $ABCD$ là hình vuông) (1)
$SB \bot AD(SB \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AD \bot SA$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SAB} = {60^ \circ }$
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $B$ có $SB = tan{60^ \circ }.AB = 2\sqrt 3 a$.
Lại có ${S_{ABCD}} = A{B^2} = 4{a^2}$
$ \Rightarrow {V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3}SB \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3}2\sqrt 3 a \cdot 4{a^2} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}{a^3}\left( {dvdt} \right)$.
Câu 44: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $ABCD$ bằng ${60^ \circ }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$. Thể tích khối chóp $S.ADNM$ là:
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.
B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}$.
C. $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.
D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}$.
Lời giải
Gọi $O = AC \cap BD$.
$AO \bot BD \Rightarrow SO \bot BD$. Nên góc của $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SOA} = {60^ \circ }$.
${V_{S.ADN}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ADC}} = \frac{1}{4} \cdot {V_{S \cdot ABCD}}$ và ${V_{S.AMN}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}$.
$ \Rightarrow {V_{S.ADNM}} = {V_{S.ADN}} + {V_{S.AMN}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}$.
$SA = AO \cdot tan\widehat {SOA} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}tan{60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow {V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$.
$ \Rightarrow {V_{S.ADNM}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.
Câu 45: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và đáy bằng ${60^ \circ }$. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh $S$, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng
A. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{8}$.
B. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{6}$.
D. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{4}$.
Lời giải
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle ABC \Rightarrow IA = r = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB \Rightarrow AB \bot \left( {SMC} \right)$
$ \Rightarrow $ Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc $\widehat {SMC} = {60^ \circ }$
Trong tam giác $SIM$ vuông tại $I$ có $cos{60^ \circ } = \frac{{IM}}{{SM}}$
$ \Rightarrow SM = 2IM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow l = SA = \sqrt {S{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}$.
Diện tích xung quanh hình nón ${S_{xq}} = \pi rl = \pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {21} }}{6} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{6}$.
Câu 46: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = f\left( {{x^3} + 2x + m} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$ ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
Đặt $t = {x^3} + 2x + m \Rightarrow t’ = 3{x^2} + 2$. Do đó, trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$ thì $t$ đồng biến và $t \in \left( {m – 3;m + 3} \right)$.
Yêu cầu bài toán trở thành tìm $m$ để hàm số $y = f\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {m – 3;m + 3} \right)$.
Dựa vào bảng xét dấu trên, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m – 3 \geqslant 0} \\
{m + 3 \leqslant 8}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \geqslant 3} \\
{m \leqslant 5}
\end{array} \Leftrightarrow 3 \leqslant m \leqslant 5} \right.} \right.$.
Vì $m$ nguyên nên $m \in \left\{ {3,4,5} \right\}$.
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu.
Câu 47: Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB = 25\;m$, chiều rộng $AD = 20\;m$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $MN(M,N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AD)$. Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $MN$, biết khi làm đường trên miền $ABMN$ mỗi giờ làm được $15\;m$ và khi làm trong miền $CDNM$ mỗi giờ làm được $30\;m$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.
A. $\frac{{2\sqrt 5 }}{3}$.
B. $\frac{{10 + 2\sqrt {725} }}{{30}}$.
C. $\frac{{20 + \sqrt {725} }}{{30}}$.
D. 5 .
Lời giải
Do cần thời gian xây là ngắn nhất nên con đường làm trên mỗi miền phải là những đường thẳng. Gọi $AE$ và $EC$ lần lượt là đoạn đường cần làm. Đặt $NE = x\left( {\;m} \right)$.
$ \Rightarrow EM = 25 – x\left( {\;m} \right)$. Ta có điều kiện: $0 < x < 25$
Ta được $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AE = \sqrt {A{N^2} + E{N^2}} = \sqrt {100 + {x^2}} } \\
{EC = \sqrt {M{C^2} + E{M^2}} = \sqrt {100 + {{(25 – x)}^2}} }
\end{array}} \right.$.
$ \Rightarrow $ Thời gian để làm đoạn đường từ $A$ đến $C$ là:
$t\left( x \right) = \frac{{AE}}{{15}} + \frac{{EC}}{{30}} = \frac{{\sqrt {100 + {x^2}} }}{{15}} + \frac{{\sqrt {{{(25 – x)}^2} + 100} }}{{30}}\left( {\;h} \right)$
$ \Rightarrow t’\left( x \right) = \frac{x}{{15\sqrt {100 + {x^2}} }} – \frac{{25 – x}}{{30 \cdot \sqrt {{{(25 – x)}^2} + 100} }}$
Xét $t’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{15\sqrt {100 + {x^2}} }} – \frac{{25 – x}}{{30 \cdot \sqrt {{{(25 – x)}^2} + 100} }} = 0$
$ \Leftrightarrow 2x\sqrt {{{(25 – x)}^2} + 100} = \left( {25 – x} \right)\sqrt {100 + {x^2}} $
$ \Leftrightarrow 4{x^2}\left( {{{(25 – x)}^2} + 100} \right) = {(25 – x)^2}\left( {100 + {x^2}} \right)$
$ \Leftrightarrow 4{x^2}{(25 – x)^2} + 400{x^2} – 100{(25 – x)^2} – {(25 – x)^2}{x^2} = 0$
$ \Leftrightarrow 4{(25 – x)^2}\left( {{x^2} – 25} \right) + {x^2}\left( {{{20}^2} – {{(25 – x)}^2}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)\left( {4{{(25 – x)}^2}\left( {x + 5} \right) + {x^2}\left( {45 – x} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5$
Vì $0 < x < 25$ nên $\left( {4{{(25 – x)}^2}\left( {x + 5} \right) + {x^2}\left( {45 – x} \right)} \right) > 0$
Ta được $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t\left( 0 \right) = \frac{{4 + \sqrt {29} }}{6}} \\
{t\left( 5 \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}} \\
{t\left( {25} \right) = \frac{{1 + \sqrt {29} }}{3}}
\end{array}} \right.$.
Vậy thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$ là $\frac{{2\sqrt 5 }}{3}\left( {\;h} \right)$.
Câu 48: Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2mx – {m^2} + m + 1} \right)^{\frac{1}{{2024}}}}$ xác định trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ là
A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
Lời giải
Đặt $f\left( x \right) = {x^2} – 2mx – {m^2} + m + 1$.
Hàm số đã cho xác định trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$.
$f\left( x \right)$ là một tam thức bậc 2 có $\Delta ‘ = 2{m^2} – m – 1$.
Nếu $\Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < m < 1$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$
Nếu $\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{m = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Với $m = 1$ thì $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\} \Rightarrow m = 1$ không thỏa mãn.
Với $m = – \frac{1}{2}$ thì $f\left( x \right) > 0\forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\} \Rightarrow f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow m = – \frac{1}{2}$ (nhận).
Nếu $\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 1} \\
{m < – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$.
Khi đó $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ và $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow {x_1} < {x_2} \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 2m < 0} \\
{{x_1}{x_2} = – {m^2} + m + 1 \geqslant 0}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < 0} \\
{\frac{{1 – \sqrt 5 }}{2} \leqslant m \leqslant \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2} \leqslant m < 0} \right.$
Vậy trong trường hợp này $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$ khi $\frac{{1 – \sqrt 5 }}{2} \leqslant m < – \frac{1}{2}$.
Kết hợp lại ta thấy hàm số đã cho xác định trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ khi $\frac{{1 – \sqrt 5 }}{2} \leqslant m < 1$.
Từ đó suy ra chỉ có một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài ra.
Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ nhỏ hơn 2021 để phương trình $lo{g_2}\left( {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right) = 2x$ có nghiệm thực không âm?
A. 2018 .
B. 2019 .
C. 2020 .
D. 2021 .
Lời giải
Phương trình: $lo{g_2}\left( {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right) = 2x,\forall x \geqslant 0$
Đặt $t = \sqrt {{2^x} + m} $. Do ${2^x} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ và $m$ nguyên dương nên $t > 0$.
Khi đó phương trình (1) tương đương: $lo{g_2}\left( {m + t} \right) = 2x \Leftrightarrow m + t = {4^x} \Leftrightarrow t = {4^x} – m$
$ \Leftrightarrow {4^x} – m = \sqrt {{2^x} + m} \Leftrightarrow {4^x} = \sqrt {{2^x} + m} + m$
$ \Leftrightarrow {4^x} + {2^x} = \sqrt {{2^x} + m} + {2^x} + m$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right) = {t^2} + t,\forall t > 0$.
$f’\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\forall t > 0.\; \Rightarrow f\left( t \right)\;$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$. Khi đó:
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( {{2^x}} \right) = f\left( {\sqrt {{2^x} + m} } \right) \Leftrightarrow {2^x} = \sqrt {{2^x} + m} \Leftrightarrow m = {4^x} – {2^x}$.
Xét hàm $g\left( x \right) = {4^x} – {2^x}$ có $g’\left( x \right) = {4^x}2ln\left( 2 \right) – {2^x}ln\left( 2 \right)$ có $g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – 1$
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$
Phương trình (1) có nghiệm thực không âm $ \Leftrightarrow $ Đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ có giao điểm (hoành độ không âm) với đường thẳng $y = m \Leftrightarrow m \geqslant 0$.
Vì m nguyên dương và nhỏ hơn 2021 nên $m \in \left[ {1;2020} \right]$.
Vậy có 2020 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 50: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ sau.
Gọi ${m_0}$ là giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right) + m} \right|$ có số điểm cực trị ít nhất. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. ${m_0} \in \left( { – \infty ; – 2} \right)$.
B. ${m_0} \in \left( {2;3} \right)$.
C. ${m_0} \in \left( {3; + \infty } \right)$.
D. ${m_0} \in \left( { – 2;2} \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right) + m$.
Lời giải
Ta có: $h’\left( x \right) = 2f\left( x \right) \cdot f’\left( x \right) + 3f’\left( x \right)$$ \Leftrightarrow h’\left( x \right) = f’\left( x \right)\left[ {2f\left( x \right) + 3} \right]$
Xét phương trình: $h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f’\left( x \right) = 0} \\
{f\left( x \right) = – \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.$.
Ta có: $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = 1}
\end{array};f\left( x \right) = – \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = {x_0} > 1} \right.$.
Ta có $h\left( { – 2} \right) = m – 2;h\left( {{x_0}} \right) = m – \frac{9}{4}$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$ suy ra hàm số $g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|$ có số điểm cực trị ít nhất khi và chỉ khi $m – \frac{9}{4} \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant \frac{9}{4}$.
Khi đó ${m_0} = minm = \frac{9}{4}$ nên ${m_0} \in \left( {2;3} \right)$.
