Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số được cho trong đề bài, ta sẽ xác định được các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số, xác định được các điều kiện liên quan đến cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cũng như biện luận số nghiệm của phương trình cho trước … Đây là dạng bài tập đòi hỏi học sinh phải áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học trong các phần trước để có thể làm tốt dạng bài tập này.
Chú ý: $y = f(u(x))$ thì $y'(x) = f'(u).u'(x).$
I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số $y = f(3x – 1)$ nghịch biến trong khoảng nào?
A. $( – 1;1).$
B. $( – 4;2).$
C. $\left( {0;\frac{2}{3}} \right).$
D. $\left( {\frac{1}{3};2} \right).$
Từ đồ thị của hàm số ta thấy, hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trong các khoảng $(-1;1).$ Khi đó ta có $y = f(3x – 1)$ $ \Rightarrow y’ = 3.f'(3x – 1).$ Do đó $y’ < 0$ $ \Leftrightarrow 3.f'(3x – 1) < 0$ $ \Leftrightarrow f'(3x – 1) < 0$ $ \Leftrightarrow – 1 < 3x – 1 < 1$ $ \Leftrightarrow 0 < x < \frac{2}{3}.$
Phân tích: Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ đã cho ta tìm được khoảng điều kiện cho $f'(x) < 0$ $ \Leftrightarrow – 1 < x < 1.$ Do đó $f'(3x – 1) < 0$ $ \Leftrightarrow – 1 < 3x – 1 < 1.$
Chọn đán án C.
Bài 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số $y = f\left( {2{x^2} + 1} \right)$ đồng biến trong khoảng nào?
A. $( – 1; + \infty ).$
B. $( – \infty ;0).$
C. $( – 1;1).$
D. $(0; + \infty ).$
Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$, ta có $f'(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow x \ge – 1$ và $f'(x) < 0$ $ \Leftrightarrow x < – 1.$
Khi đó $y = f\left( {2{x^2} + 1} \right)$ $ \Rightarrow y’ = \left( {2{x^2} + 1} \right)’.f’\left( {2{x^2} + 1} \right)$ $ = 4x.f’\left( {2{x^2} + 1} \right).$
Do đó hàm số $y = f\left( {2{x^2} + 1} \right)$ đồng biến khi:
$4x.f’\left( {2{x^2} + 1} \right) \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 0}\\
{f’\left( {2{x^2} + 1} \right) \ge 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 0}\\
{f’\left( {2{x^2} + 1} \right) \le 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 0}\\
{2{x^2} + 1 \ge – 1}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} + 1 = 1}\\
{2{x^2} + 1 \le – 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge 0.$
Phân tích: Bài toán cho đồ thị hàm số $y’$ chứ không phải cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ nên các em chú ý khi biện luận điều kiện $y’ > 0$ hoặc $y’ < 0.$
Chọn đáp án D.
Bài 3. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số $y = f(3 – 4x)$ có cực đại bằng bao nhiêu?
A. $x = \frac{1}{2}.$
B. $x = 1.$
C. $x = -2.$
D. $x = \frac{3}{2}.$
Ta có $y = f(3 – 4x)$ $ \Rightarrow y’ = – 4.f'(3 – 4x).$
Khi đó $y’ > 0$ $ \Leftrightarrow – 4.f'(3 – 4x) > 0$ $ \Leftrightarrow f'(3 – 4x) < 0$ $ \Leftrightarrow – 1 < 3 – 4x < 1.$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1.$
Ta có bảng xét dấu $y’ = \left[ {f(3 – 4x)} \right]’:$
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số $y = f(3 – 4x)$ có cực đại $x =1.$
Chọn đáp án B.
Bài 4. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hỏi hàm số $y = f(3x – 5)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. $4.$
B. $3.$
C. $1.$
D. $2.$
Ta có $y = f(3x – 5)$ $ \Rightarrow y’ = 3.f'(3x – 5).$
Khi đó $y’ > 0$ $ \Leftrightarrow 3.f'(3x – 5) > 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – \sqrt 3 < 3x – 5 < – 1}\\
{0 < 3x – 5 < 1}\\
{\sqrt 3 < 3x – 5}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{5 – \sqrt 3 }}{3} < x < \frac{4}{3}}\\
{\frac{5}{3} < x < 2}\\
{\frac{{\sqrt 3 + 5}}{3} < x}
\end{array}} \right..$
Tương tự ta có: $y’ < 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < \frac{{5 – \sqrt 3 }}{3}}\\
{\frac{4}{3} < x < \frac{5}{3}}\\
{2 < x < \frac{{\sqrt 3 + 5}}{3}}
\end{array}} \right..$
Bảng xét dấu của $y’:$
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho có ba điểm cực tiểu.
Phân tích: Ngoài cách làm tự luận như trên, ta có thể giải quyết nhanh bài toán như sau:
+ Vì $y = f(3x – 5)$ $ \Rightarrow y’ = 3.f'(3x – 5)$ có hệ số $3 > 0$ nên số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = f'(x)$ và $y = f'(3x – 5)$ là giống nhau. Do đó số điểm cực đại và điểm cực tiểu của hai hàm số này cũng giống nhau. Ta có ngay đáp án là $3$ điểm cực tiểu.
Chọn đáp án B.
Bài 5. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và có đạo hàm trên tập số thực $R.$ Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số $g(x) = f(x) – 3x.$
A. $0.$
B. $3.$
C. $1.$
D. $2.$
Ta có $g(x) = f(x) – 3x$ $ \Rightarrow g'(x) = f'(x) – 3.$
Từ đồ thị hàm số $f'(x)$ ta thấy phương trình:
$g'(x) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = a > 0}
\end{array}} \right..$
Khi đó $g'(x) > 0$ $ \Leftrightarrow x > a$, $g'(x) < 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < a}\\
{x \ne – 1}
\end{array}} \right..$
Từ đó ta có $g'(x)$ chỉ đổi dấu một lần qua $x = a.$
Do đó hàm số đã cho chỉ có đúng một điểm cực trị.
Chọn đáp án C.
Bài 6. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $R$ có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} – 3x.$ Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. $g( – 4) = g( – 2).$
B. $g(0) \le g(2).$
C. $g(2) < g(4).$
D. $g( – 2) > g(0).$
Ta có $g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} – 3x$ $ \Rightarrow g'(x) = f'(x) – (x + 3).$
Mặt khác đường thẳng $AB:$ $y = x + 3.$
Quan sát đồ thị hàm số $y = f'(x).$
Ta có $f'(x) < x + 3$ với $x \in (0;2)$ hoặc $x \in ( – \infty ; – 2)$ và $f'(x) > x + 3$ với $x \in ( – 2;0)$ hoặc $x \in (2; + \infty ).$
Bảng biến thiên của hàm số $g(x):$
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy $g(2) < g(4).$
Chọn đáp án C.
Bài 7. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $R.$ Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ dưới. Xét hàm số $g(x) = {f^2}(x) – 3f(x).$ Biết $f(2) = 1$, $f(0) = – 2$, $f( – 1) = – 3$, $f(3) = – 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = – \infty .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\mathop {\max }\limits_R g(x) = 4.$
B. $\mathop {\max }\limits_R g(x) = 18.$
C. $\mathop {\min }\limits_R g(x) = 10.$
D. $\mathop {\min }\limits_R g(x) = – 2.$
Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ như sau:
Từ bảng biến thiên ta có $f(x) \le 1$, $\forall x \in R.$
Ta có $g'(x) = (2f(x) – 3)f'(x).$ Vì $f(x) \le 1$, $\forall x \in R.$
$ \Rightarrow 2f(x) – 3 < 0$, $\forall x \in R.$ Do đó $g'(x) > 0$ $ \Leftrightarrow f'(x) < 0$ $ \Leftrightarrow x > 2.$
Và $g'(x) < 0$ $ \Leftrightarrow f'(x) > 0$ $ \Leftrightarrow x \in ( – \infty ; – 1) \cup ( – 1;2).$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ như sau:
Từ bảng biến thiên hàm số, ta thấy $\mathop {\min }\limits_R g(x) = – 2$, không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số $g(x).$
Chọn đáp án D.
Bài 8. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $R$, có đồ thị $f'(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x) = 2f(x) + 2{x^3} – 4x – 3m – 6\sqrt 5 $ với $m$ là số thực. Để $g(x) \le 0$ với $\forall x \in \left[ { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]$ thì?
A. $m \ge \frac{2}{3}f\left( { – \sqrt 5 } \right) – 4\sqrt 5 .$
B. $m \le \frac{2}{3}f(0) – 2\sqrt 5 .$
C. $m \le \frac{2}{3}f\left( {\sqrt 5 } \right).$
D. $m \ge \frac{2}{3}f\left( {\sqrt 5 } \right).$
Ta có $g'(x) = 2f'(x) + 6{x^2} – 4$ $ = 2\left( {f'(x) + 3{x^2} – 2} \right).$
Nhận xét $(P):y = – 3{x^2} + 2$ có đỉnh là điểm $E(0;2)$ và đi qua hai điểm $A\left( { – \sqrt 5 ; – 13} \right)$ và $B\left( {\sqrt 5 ; – 13} \right).$
Khi đó từ đồ thị hàm số $f'(x)$ ta thấy đồ thị hàm số $(P):y = – 3{x^2} + 2$ luôn nằm phía dưới đồ thị hàm số $f'(x).$
Do đó $f'(x) > – 3{x^2} + 2$, $x \in \left( { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right).$
$ \Rightarrow g'(x) > 0$, $\forall x \in \left( { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right).$
Suy ra hàm số $y = g(x)$ đồng biến trên đoạn $\left[ { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right].$
Ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]} g(x) = g\left( {\sqrt 5 } \right) = 2f\left( {\sqrt 5 } \right) – 3m.$
Để $g(x) \le 0$, $\forall x \in \left[ { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]$ thì $2f\left( {\sqrt 5 } \right) – 3m \le 0$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{3}f\left( {\sqrt 5 } \right) \le m.$
Chọn đáp án D.
Bài 9. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R$ sao cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = + \infty $ có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Biết $f(0) = 3$, $f(1) = 5.$ Tìm điều kiện $m$ để đồ thị hàm số $g(x) = f(x) – x + m – 2$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
A. $m = 2.$
B. $m > -1.$
C. $m < -1.$
D. $m > -2.$
Ta có $g'(x) = f'(x) – 1.$
Từ đồ thị của hàm số $y = f'(x)$, ta có $f'(x) < 1$ với $x \in ( – \infty ; – 1)$ hoặc $x \in ( – 1;0).$
Và $f'(x) > 1$ với $x \in (0;1)$ hoặc $x \in (1; + \infty ).$
Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số $g(x):$
Từ bảng biến thiên, suy ra $g(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi $m > -1.$
Chọn đáp án B.
Bài 10. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $R$, có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Biết $f(-2) = -3$, $f(0) = 0$, $f(2) = 2.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} – 2x + m – 2$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $[-2;2]$ bằng $5.$
A. $m = 7.$
B. $m = 11.$
C. $m = 9.$
D. $m = 2.$
Theo bài ra ta có: $g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} – 2x + m – 2.$
$ \Rightarrow g'(x) = f'(x) – (x + 2).$
Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$:
Với $x \in ( – 2;0)$ thì $f'(x) > x + 2.$
Với $x \in (0;2)$ thì $f'(x) < x + 2.$
Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số $g(x):$
Khi đó ta có $\mathop {\max }\limits_{[ – 2;2]} g(x) = m – 2.$ Theo bài ra thì $m – 2 = 5$ $ \Leftrightarrow m = 7.$
Chọn đáp án A.
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R$, có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hỏi hàm số $y = f(2x – 5)$ đồng biến trong khoảng nào?
A. $\left( {3;\frac{7}{2}} \right).$
B. $(1;2).$
C. $(3; + \infty ).$
D. $( – \infty ;1).$
Bài 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R.$ Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số $y = f(6 – 2x)$ nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
A. $(2; + \infty ).$
B. $( – 2;0).$
C. $(0;3).$
D. $(5;8).$
Bài 3. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R.$ Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số $y = f(3x – 9)$ đồng biến trong khoảng nào sau đây?
A. $( – 2; – 1).$
B. $\left( {3;\frac{{11}}{3}} \right).$
C. $\left( {\frac{{11}}{3}; + \infty } \right).$
D. $( – 1;2).$
Bài 4. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R.$ Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số $y = f\left( {{x^2}} \right)$ nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
A. $( – \infty ; – 2).$
B. $( – 1;0).$
C. $(1;2).$
D. $(2; + \infty ).$
Bài 5. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R.$ Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số $y = f(-2x + 4)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. $4.$
B. $3.$
C. $1.$
D. $2.$
Bài 6. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R$, có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hỏi hàm số $g(x) = f(x) + {x^2} – 4x$ có mấy cực đại?
A. $2.$
B. $1.$
C. $3.$
D. $0.$
Bài 7. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R$, có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} + x.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $g( – 2) < g( – 1).$
B. $g(0) = g(1).$
C. $g( – 1) \ge g(0).$
D. $g(2) > g(1).$
Bài 8. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R$, có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x) = {f^2}(x) + 2f(x).$ Biết $f(1) = – \frac{1}{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $R.$
B. Hàm số $g(x)$ nghịch biến trong khoảng $( – \infty ;1).$
C. Hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại $x =1.$
D. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2.$
Bài 9. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R$, có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x) = f(x) – \frac{1}{6}{x^3} + 2x + m.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $g(x) \le 0$, $\forall x \in [ – 2;2].$
A. $m \le – f(0).$
B. $m \le \frac{8}{3} – f(2).$
C. $m \le \frac{8}{3} – f( – 2).$
D. $m \ge \frac{8}{3} – f( – 2).$
Bài 10. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên tập số thực $R$, có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} + m – 1.$ Biết $f(0) = 2$, $f(2)=1$, $f(-2)= -1.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\mathop {\max }\limits_{_{[ – 2;2]}} g(x) = 2.$
A. Không tồn tại $m.$
B. $m = 1.$
C. $m = \frac{1}{2}.$
D. $m = \frac{5}{2}.$
III. BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO
1. A.
2. B.
3. B.
4. D.
5. D.
6. A.
7. D.
8. B.
9. C.
10. B.
