Bài viết hướng dẫn tìm môđun và acgumen của một số phức bất kỳ, đây là một dạng toán căn bản trong chương trình Giải tích 12 chương 4 mà học sinh cần nắm vững, ngoài ra bài viết còn cung cấp một số ví dụ nâng cao và mở rộng của dạng toán này. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu số phức trên thuvienloigiai.com.
Phương pháp: Nhìn chung các bài tập này có cách giải như sau:
Giả sử ta cần tìm một acgumen của số phức $z$. Ta cần biến đổi sao cho $z$ có dạng $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right).$
1. Với $z = a + bi, (a,b \in R)$ ta có mô đun của $z$ là $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$, và $1$ acgumen của $z$ là $\varphi $ thỏa $c{\rm{os}}\varphi = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$; $\sin \varphi = \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
2. Với $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi )$ thì $z$ có mô đun là $r$ và $1$ acgumen của $z$ là $\varphi.$
3. Với $z = r(\cos \varphi – i \sin \varphi )$ $ = r\left[ {c{\rm{os}}( – \varphi ) + i \sin ( – \varphi )} \right].$
4. Với $z = r(\sin \varphi + i c{\rm{os}}\varphi )$ $ = r\left[ {c{\rm{os}}(\frac{\pi }{2} – \varphi ) + i \sin (\frac{\pi }{2} – \varphi )} \right].$
Các ví dụ điển hình thường gặp:
Ví dụ 1. Cho số phức $z = 1 – \sin \varphi + i\cos \varphi ,$ $0 < \varphi < \frac{\pi }{2}.$ Tìm một acgumen của số phức $z$.
$z = 1 – \sin \varphi + i\cos \varphi $ $ = 1 – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right)$
$ = 2{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right)$ $ + 2i\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right)$
$ = 2\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right)$ $\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right) + i\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right)} \right]$
$ = 2\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right)$ $\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\varphi }{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\varphi }{2}} \right)} \right].$
Do $0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ nên $2\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right) > 0.$ Vậy, một acgumen của $z$ là $\frac{\pi }{4} + \frac{\varphi }{2}.$
Ví dụ 2. Cho số phức $z$ có mô đun bằng $1$ và $\varphi $ là một acgumen của $z.$
a. Tìm một acgumen của $\frac{{\overline z }}{z}.$
b. Tìm một acgumen của $\overline z + z$ nếu $\cos \varphi \ne 0.$
Từ giả thiết suy ra $z = \cos \varphi + isin\varphi .$
a. Ta có
$\frac{{\overline z }}{z} = \frac{{\cos \varphi – i\sin \varphi }}{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}$ $ = \frac{{\cos \left( { – \varphi } \right) + i\sin \left( { – \varphi } \right)}}{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}$ $ = \cos \left( { – 2\varphi } \right) + i\sin \left( { – 2\varphi } \right).$
Vậy một acgumen của $z$ là $ – 2\varphi .$
b. Ta có: $\overline z + z = 2\cos \varphi .$
+ Nếu $\cos \varphi > 0$ thì $\overline z + z = 2\cos \varphi $ $ = 2\cos \varphi \left( {\cos 0 + i\sin 0} \right).$ Lúc đó $0$ là một acgumen của $\overline z + z.$
+ Nếu $\cos \varphi < 0$ thì $\overline z + z = – 2\cos \varphi .( – 1)$ $ = – 2\cos \varphi \left( {\cos \pi + i\sin \pi } \right).$ Lúc đó $\pi $ là một acgumen của $\overline z + z.$
Ví dụ 3. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a. $z = 1 + \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.$
b. $z = 1 + \cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}.$
c. $z = 1 – \cos \frac{{2\pi }}{5} + i\sin \frac{{2\pi }}{5}.$
d. $z = – 1 – \sin \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{6}.$
e. $z = – 1 + \sin \frac{\pi }{6} – i\sin \frac{\pi }{6}.$
a. $z = 1 + \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}$ $ = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} + 2i\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}.$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = 2\cos \frac{\pi }{8}\\
\varphi = \frac{\pi }{8}
\end{array} \right.$
b. $z = 1 + \cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}$ $ = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{6} + 2i\sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{6}$
$ = 2\cos \frac{\pi }{6}\left( {\cos \frac{\pi }{6} – i\sin \frac{\pi }{6}} \right)$ $ = 2\cos \frac{\pi }{6}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)} \right].$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = 2\cos \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 \\
\varphi = – \frac{\pi }{6}
\end{array} \right.$
c. $z = 1 – \cos \frac{{2\pi }}{5} + i\sin \frac{{2\pi }}{5}$ $ = 2{\sin ^2}\frac{\pi }{5} + 2i\sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{5}$
$ = 2\sin \frac{\pi }{5}\left( {\sin \frac{\pi }{5} + i\cos \frac{\pi }{5}} \right)$ $ = 2\sin \frac{\pi }{5}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{10}} + i\sin \frac{{3\pi }}{{10}}} \right).$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = 2\sin \frac{\pi }{5}\\
\varphi = \frac{{3\pi }}{{10}}
\end{array} \right.$
d. $z = – 1 – \sin \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{6}$ $ = – 1 – \cos \frac{\pi }{6} + 2i\sin \frac{\pi }{6}$
$ = – 2{\cos ^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{\pi }{{12}}$ $ = 2\cos \frac{\pi }{{12}}\left( { – \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right)$ $ = 2\cos \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{11\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{11\pi }}{{12}}} \right).$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = 2\cos \frac{\pi }{{12}}\\
\varphi = \frac{{11\pi }}{{12}}
\end{array} \right.$
e. $z = – 1 + \sin \frac{\pi }{6} – i\sin \frac{\pi }{6}$ $ = – 1 + \cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}$
$ = – 2{\sin ^2}\frac{\pi }{6} – 2i\sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{6}$ $ = 2\sin \frac{\pi }{6}\left( { – \sin \frac{\pi }{6} – i\cos \frac{\pi }{6}} \right)$
$ = 2.\frac{1}{2}\left( {\sin \frac{{7\pi }}{6} + i\cos \frac{{7\pi }}{6}} \right)$ $ = \cos \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right).$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = 1\\
\varphi = – \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.$
Ví dụ 4. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a. $z = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} – \frac{1}{{\sqrt 2 }}i.$
b. $z = 2 – \sqrt 2 – i\sqrt 2 .$
c. $z = 2\sqrt 3 + 3 + i\sqrt 3.$
d. $z = \frac{{\sqrt 3 }}{3} – \frac{2}{3} + \frac{1}{3}i.$
Ta kí hiệu $r$ và $\varphi $ lần lượt là môđun và acgumen của số phức $z$, ta có:
a. $z = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} – \frac{1}{{\sqrt 2 }}i$ $ = 1 + \cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}$
$ = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} – 2i\sin \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}$ $ = 2\cos \frac{\pi }{8}\left( {\cos \frac{\pi }{8} – i\sin \frac{\pi }{8}} \right)$
$ = 2\cos \frac{\pi }{8}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{8}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{8}} \right)} \right].$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = 2\cos \frac{\pi }{8}\\
\varphi = – \frac{\pi }{8}
\end{array} \right.$
b. $z = 2 – \sqrt 2 – i\sqrt 2 $ $ = 2\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{i\sqrt 2 }}{2}} \right)$ $ = 2\left( {1 – \cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$
$ = 2\left( {2{{\sin }^2}\frac{\pi }{8} – 2i\sin \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}} \right)$ $ = 4\sin \frac{\pi }{8}\left( {\sin \frac{\pi }{8} – i\cos \frac{\pi }{8}} \right)$
$ = 4\sin \frac{\pi }{8}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} – i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)$ $ = 4\sin \frac{\pi }{8}\left[ {\cos \left( { – \frac{{3\pi }}{8}} \right) + i\sin \left( { – \frac{{3\pi }}{8}} \right)} \right].$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = 4\sin \frac{\pi }{8}\\
\varphi = – \frac{{3\pi }}{8}
\end{array} \right.$
c. $z = 2\sqrt 3 + 3 + i\sqrt 3 $ $ = 2\sqrt 3 \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$ $ = 2\sqrt 3 \left( {1 + \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)$
$ = 2\sqrt 3 \left( {2{{\cos }^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)$ $ = 4\sqrt 3 \cos \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right).$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = 4\sqrt 3 \cos \frac{\pi }{{12}}\\
\varphi = \frac{\pi }{{12}}
\end{array} \right.$
d. $z = \frac{{\sqrt 3 }}{3} – \frac{2}{3} + \frac{1}{3}i$ $ = – \frac{2}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{1}{3}i$ $ = \frac{2}{3}\left( { – 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$
$ = \frac{2}{3}\left( { – 2{{\sin }^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)$ $ = \frac{4}{3}\sin \frac{\pi }{{12}}\left( { – \sin \frac{\pi }{{12}} + i\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)$
$ = \frac{4}{3}\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\cos \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right)$ $ = \frac{4}{3}\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right).$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
r = \frac{4}{3}\sin \frac{\pi }{{12}}\\
\phi = \frac{{7\pi }}{{12}}
\end{array} \right.$
Ví dụ 5. Gọi ${z_1}, {z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} – 2iz – 4 = 0$, ${z_1}$ có phần thực âm. Tính môđun và acgumen của các số phức sau:
a. $w = z_1^2.{z_2}.$
b. $w = \frac{{{z_1}}}{{{z_2} – 2}}.$
c. $w = \left( {{z_1} – 2} \right)\left( {{z_2} – 2} \right).$
d. $w = \overline {{z_1}.} \left( {2 – \overline {{z_2}} } \right).$
Ta gọi $r$ và $\varphi $ lần lượt là môđun và acgumen của số phức $w.$
Giải phương trình: ${z^2} – 2iz – 4 = 0$ ta được $2$ nghiệm là:
${z_1} = – \sqrt 3 + i = 2\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right)$ (vì ${z_1}$ có phần thực âm).
${z_2} = \sqrt 3 + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right).$
a. Ta có: $z_1^2 = 4\left( {\cos \frac{{5\pi }}{3} + i\sin \frac{{5\pi }}{3}} \right)$, ${z_2} = 2\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right).$
Suy ra: $w = z_1^2.{z_2}$ $ = 4.2.\left[ {\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]$ $ = 8\left( {\cos \frac{{11\pi }}{6} + i\sin \frac{{11\pi }}{6}} \right).$
Vậy $w$ có môđun và một acgumen là: $\left\{ \begin{array}{l}
r = 8\\
\varphi = \frac{{11\pi }}{6}
\end{array} \right.$
b. Ta có
${z_2} – 2 = \sqrt 3 + i – 2$ $ = 2\left( { – 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$ $ = 2\left( { – 1 + \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)$
$ = 2\left( { – 2{{\sin }^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left( { – \sin \frac{\pi }{{12}} + i\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)$
$ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right]$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right).$
Suy ra: $w = \frac{{{z_1}}}{{{z_2} – 2}}$ $ = \frac{{2\left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right)}}{{4\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)}}$
$ = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{12}}}}$$\left[ {\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6} – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right]$
$ = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{12}}}}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{3\pi }}{{12}}} \right)$ $ = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{12}}}}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$
Vậy $w = \frac{{{z_1}}}{{{z_2} – 2}}$ có môđun và acgumen là $\left\{ \begin{array}{l}
r = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{12}}}}\\
\varphi = \frac{\pi }{4}
\end{array} \right.$
c. Ta có ${z_2} – 2$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)$ (theo câu b) và:
${z_1} – 2 = – \sqrt 3 + i – 2$ $ = 2\left( { – 1 – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$ $ = 2\left( { – 1 – \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)$
$ = 2\left( { – 2{{\cos }^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)$ $ = 4\cos \frac{\pi }{{12}}\left( { – \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right)$
$ = 4\cos \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{11\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{11\pi }}{{12}}} \right).$
Suy ra:
$w = \left( {{z_1} – 2} \right)\left( {{z_2} – 2} \right)$ $ = 4\cos \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{11\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{11\pi }}{{12}}} \right)$.$4\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)$
$ = 16.\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}$$\left[ {\cos \left( {\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right]$
$ = 8.\sin \frac{\pi }{6}.\left( {\cos \frac{{18\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{18\pi }}{{12}}} \right)$ $ = 8\sin \frac{\pi }{6}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{2} + i\sin \frac{{3\pi }}{2}} \right)$
$ = 4\cos \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{2} + i\sin \frac{{3\pi }}{2}} \right).$
Vậy $w = \left( {{z_1} – 2} \right)\left( {{z_2} – 2} \right)$ có môđun và một acgumen là: $\left\{ \begin{array}{l}
r = 4\\
\varphi = \frac{{3\pi }}{2}
\end{array} \right.$
Cách khác: Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng công thức Vi-et:
${z_1} + {z_2} = 2i, {z_1}{z_2} = – 4.$
Ta có:
$w = \left( {{z_1} – 2} \right)\left( {{z_2} – 2} \right)$ $ = {z_1}.{z_2} – 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right) + 4$ $ = – 4 – 2.2i + 4 = – 4i$
$ = 4\left( {0 – i} \right)$ $ = 4\left( {\cos \frac{{3\pi }}{2} + i\sin \frac{{3\pi }}{2}} \right).$
d. $w = \overline {{z_1}} .\left( {2 – \overline {{z_2}} } \right)$ $ \Rightarrow \overline w = \overline {\overline {{z_1}} .\left( {2 – \overline {{z_2}} } \right)} $ $ = {z_1}.\left( {2 – {z_2}} \right) = – {z_1}.\left( {{z_2} – 2} \right)$
Với $ – {z_1} = – 2\left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right)$ $ = 2\left( { – \cos \frac{{5\pi }}{6} – i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right)$
$ = 2\left[ {\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6} – \pi } \right) + i\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} – \pi } \right)} \right]$ $ = 2\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)} \right]$ và ${z_2} – 2$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right).$
Suy ra:
$\overline w = – {z_1}.\left( {{z_2} – 2} \right)$ $ = 2\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)} \right]$.$4\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)$
$ = 8\sin \frac{\pi }{{12}}$.$\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{6} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{6} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right]$ $ = 8\sin \frac{\pi }{{12}}.\left( {\cos \frac{{5\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)$
$ \Rightarrow w = 8\sin \frac{\pi }{{12}}$.$\left( {\cos \frac{{5\pi }}{{12}} – i\sin \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)$
$ = 8\sin \frac{\pi }{{12}}$.$\left[ {\cos \left( { – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( { – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right].$
Vậy $w = \overline {{z_1}} .\left( {2 – \overline {{z_2}} } \right)$ có môđun và acgumen là: $\left\{ \begin{array}{l}
r = 8\sin \frac{\pi }{{12}}\\
\varphi = – \frac{{5\pi }}{{12}}
\end{array} \right.$
[ads]
Ví dụ 6. Tìm môđun và một acgumen của số phức $z$ thỏa mãn phương trình: $\frac{{1 + {z^2}}}{{1 – {z^2}}} = i$.
Ta có: $\frac{{1 + {z^2}}}{{1 – {z^2}}} = i$ $ \Leftrightarrow 1 + {z^2} = i – i{z^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right){z^2} = – 1 + i$ $ \Leftrightarrow {z^2} = \frac{{ – 1 + i}}{{1 + i}}.$
${z^2} = \frac{{ – \left( {1 – i} \right)\left( {1 – i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 – i} \right)}}$ $ = \frac{{ – \left( {1 + {i^2} – 2i} \right)}}{{1 + 1}} = i$ $ = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}.$
$ \Rightarrow \left| z \right| = 1$. Đặt $z = \cos \varphi + i\sin \varphi $ $ \Rightarrow {z^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi .$
Ta có:
${z^2} = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ $ \Leftrightarrow \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi $ $ = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$
$ \Leftrightarrow 2\varphi = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow \varphi = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
Chọn $k = 0, 1$ ta được ${\varphi _1} = \frac{\pi }{4}, {\varphi _2} = \frac{{5\pi }}{4}.$
Vậy có $2$ số phức $z$ thỏa mãn: $\frac{{1 + {z^2}}}{{1 – {z^2}}} = i$ là:
${z_1}$ có môđun $r = 1$, một acgumen là ${\varphi _1} = \frac{\pi }{4}$ và ${z_2}$ có môđun $r = 1$, một acgumen là $\varphi = \frac{{5\pi }}{4}$.
Ví dụ 7. Trong các acgumen của số phức ${\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^8}$, tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất.
Ta có: $1 – \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{ – \pi }}{6} + i\sin \frac{{ – \pi }}{3}} \right).$
Theo công thức Moivre ta có: $z = {2^8}\left( {\cos \frac{{ – 8\pi }}{3} + i\sin \frac{{ – 8\pi }}{3}} \right)$. Từ đó suy ra $z$ có các họ acgumen là: $ – \frac{{8\pi }}{3} + 2k\pi , k \in R$. Ta thấy với $k = 2$ thì acgumen dương nhỏ nhất của $z$ là $\frac{{4\pi }}{3}.$
Ví dụ 8. Tìm acgumen âm lớn nhất của số phức $z = {\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^{10}}.$
$z = {\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^{10}}$ $ = {2^{10}}{\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{10}}$ $ = {2^{10}}{\left( {cos\frac{\pi }{3} + i.\sin \frac{\pi }{3}} \right)^{10}}.$
Áp dụng công thức Moivre, ta có:
$z = {2^{10}}\left( {cos\frac{{10\pi }}{3} + i.\sin \frac{{10\pi }}{3}} \right)$ $ = {2^{10}}\left( {cos\frac{{4\pi }}{3} + i.\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right).$
Các acgumen của $z$ đều có dạng $\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$. Ta có $\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi < 0 \Leftrightarrow k < – \frac{2}{3}$ hay $k \in \left\{ {…, – 4, – 3, – 2, – 1} \right\}.$
Acgumen âm lớn nhất của $z$ tương ứng với $k = – 1.$
Vậy acgumen cần tìm của $z$ là $ – \frac{{2\pi }}{3}.$
Ví dụ 9. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức ${\left( {z + i} \right)^4} + 1 = i\sqrt 3 .$
Ta có: ${\left( {z + i} \right)^4}$ $ = – 1 + i\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {z + i} \right)^4}$ $ = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ $\left( 1 \right).$
Giả sử $z + i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$, $r \in {R^ + }$ $ \Rightarrow {\left( {z + i} \right)^4}$ $ = {r^4}\left( {\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi } \right)$ $\left( 2 \right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}
{r^4} = 2\\
\cos 4\varphi = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\
\sin 4\varphi = \sin \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
r = \sqrt[4]{2}\\
\varphi = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2} \left( {k \in Z} \right)
\end{array} \right.$
Cho $k = 0, \pm 1, – 2$ ta nhận được các giá trị acgumen tương ứng của số phức $z + i$ là ${\varphi _1} = \frac{\pi }{6}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{3}$, ${\varphi _3} = – \frac{\pi }{3}$, ${\varphi _4} = – \frac{{5\pi }}{6}.$
Từ đó phương trình đã cho có $4$ nghiệm lần lượt là:
$z + i = \sqrt[4]{2}\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)$ hay $z = \frac{{\sqrt[4]{{18}}}}{2} + \left( {\frac{{\sqrt[4]{2}}}{2} – 1} \right)i.$
$z + i = \sqrt[4]{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ hay $z = – \frac{{\sqrt[4]{2}}}{2} + \left( {\frac{{\sqrt[4]{{18}}}}{2} – 1} \right)i.$
$z + i$ $ = \sqrt[4]{2}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right)$ hay $z = \frac{{\sqrt[4]{2}}}{2} – \left( {\frac{{\sqrt[4]{{18}}}}{2} + 1} \right)i.$
$z + i$ $ = \sqrt[4]{2}\left( {\cos \left( { – \frac{{5\pi }}{6}} \right) + i\sin \left( { – \frac{{5\pi }}{6}} \right)} \right)$ hay $z = – \frac{{\sqrt[4]{{18}}}}{2} – \left( {\frac{{\sqrt[4]{2}}}{2} + 1} \right)i.$
Nhận xét: Dạng lượng giác luôn phát huy được ưu thế của mình khi xử lí các biểu thức lũy thừa bậc cao của số phức.
Ví dụ 10. Gọi ${z_1}, {z_2}$ là nghiệm của phương trình ${z^2} – \left( {2{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}}} \right)z + 1 = 0$. Tìm số $n$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho ${z_1}^n + {z_2}^n = 1.$
Đặt ${z^2} – \left( {2{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}}} \right)z + 1 = 0$ $(1)$. Biệt thức của $(1)$ là:
$\Delta’ = {\mathop{\rm co}\nolimits} {s^2}\frac{{5\pi }}{{21}} – 1$ $ = – {\sin ^2}\frac{{5\pi }}{{21}} = {\left( {i{{\sin }^2}\frac{{5\pi }}{{21}}} \right)^2}.$
Vậy $(1)$ có các nghiệm là ${z_1} = {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} – i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}$ và ${z_2} = {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} + i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}.$
${z_1}^n + {z_2}^n = 1$ $ \Leftrightarrow {\left( {{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} – i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}} \right)^n}$ $ + {\left( {{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} + i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}} \right)^n} = 1$
$ \Leftrightarrow {\left[ {{\mathop{\rm co}\nolimits} s\left( { – \frac{{5\pi }}{{21}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{21}}} \right)} \right]^n}$ $ + {\left( {{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} + i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}} \right)^n} = 1$
$ \Leftrightarrow {\mathop{\rm co}\nolimits} s\left( { – \frac{{n5\pi }}{{21}}} \right) – i\sin \left( { – \frac{{n5\pi }}{{21}}} \right)$ $ + {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{n5\pi }}{{21}} + i\sin \frac{{n5\pi }}{{21}} = 1$
$ \Leftrightarrow cos\left( { – \frac{{n5\pi }}{{21}}} \right) + {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{n5\pi }}{{21}} = 1$ $ \Leftrightarrow 2{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{n5\pi }}{{21}} = 1$
$ \Leftrightarrow {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{n5\pi }}{{21}} = {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{{n5\pi }}{{21}} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow n = \pm \frac{7}{5} + \frac{{42k}}{5} \left( {k \in Z} \right) \left( * \right).$
Vì $n$ là số nguyên nhỏ nhất nên từ $(*)$ suy ra: $n = 7.$
Ví dụ 11. Cho số phức $z$ thỏa mãn $z + \sqrt 2 i$ có một acgument bằng một acgument của $z + \sqrt 2 $ cộng với $\frac{\pi }{4}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \left| {z + 1} \right| + \left| {z + i} \right|.$
Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$. Khi đó $z + \sqrt 2 i$ có một acgument bằng acgument của $z + \sqrt 2 $ cộng với $\frac{\pi }{4}$ nên $\frac{{z + \sqrt 2 i}}{{z + \sqrt 2 }} = r\left( {cos\frac{\pi }{4} + i.\sin \frac{\pi }{4}} \right)$ với $r > 0.$
$\frac{{z + \sqrt 2 i}}{{z + \sqrt 2 }} = \frac{{a + \left( {b + \sqrt 2 } \right)i}}{{a + \sqrt 2 + bi}}$ $ = \frac{{a\left( {a + \sqrt 2 } \right) + b\left( {b + \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {a + \sqrt 2 } \right)}^2} + {b^2}}}$ $ + \frac{{\left( {a + \sqrt 2 } \right)\left( {b + \sqrt 2 } \right) – ab}}{{{{\left( {a + \sqrt 2 } \right)}^2} + {b^2}}} – i.$
Suy ra $\frac{{a\left( {a + \sqrt 2 } \right) + b\left( {b + \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {a + \sqrt 2 } \right)}^2} + {b^2}}}$ $ = \frac{{\left( {a + \sqrt 2 } \right)\left( {b + \sqrt 2 } \right) – ab}}{{{{\left( {a + \sqrt 2 } \right)}^2} + {b^2}}} – i > 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 2\\
{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} \ne 0\\
a + b + \sqrt 2 > 0
\end{array} \right. \left( * \right).$
Ta có: $T = \left| {z + 1} \right| + \left| {z + i} \right|$ $ = \left| {a + 1 + bi} \right| + \left| {a + \left( {b + 1} \right)i} \right|$
$ = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {3 + 2a} + \sqrt {3 + 2b} $ do $(*).$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi,ta được:
${T^2} \le 2\left( {6 + 2a + 2b} \right)$ $ \le 2\left( {6 + 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) = 20.$
Suy ra $T \le 2\sqrt 5$, đẳng thức xảy ra khi $a = b = 1.$
Vậy, giá trị lớn nhất của $T$ là: $2\sqrt 5$, đạt khi $z = 1 + i.$
