Tài liệu môn toán 12

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Tài liệu môn toán 12] Xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số

Thư viện lời giải
Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Tài liệu môn toán 12
TIPS Giải Toán 12
Xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số

# Xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị

1. Tổng quan về bài học:

Bài học này hướng dẫn học sinh cách xác định tính đơn điệu (tăng hay giảm) của một hàm số dựa trên bảng biến thiên và đồ thị của hàm số đó. Đây là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và áp dụng vào việc giải các bài toán liên quan đến cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Mục tiêu chính của bài học là giúp học sinh nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số và thành thạo kỹ năng xác định tính đơn điệu thông qua việc đọc và phân tích bảng biến thiên cũng như đồ thị hàm số.

2. Kiến thức và kỹ năng:

Sau khi hoàn thành bài học này, học sinh sẽ:

Nắm vững định nghĩa: Hiểu rõ khái niệm hàm số đơn điệu tăng, hàm số đơn điệu giảm và các điều kiện cần và đủ để một hàm số là đơn điệu trên một khoảng. Phân tích bảng biến thiên: Học cách đọc và hiểu thông tin về tính đơn điệu của hàm số được thể hiện trên bảng biến thiên. Nhận biết khoảng đơn điệu tăng, đơn điệu giảm dựa trên sự biến thiên của giá trị hàm số. Phân tích đồ thị hàm số: Học cách xác định khoảng đơn điệu tăng, đơn điệu giảm của hàm số dựa trên hình dạng đồ thị. Hiểu mối liên hệ giữa độ dốc của đồ thị và tính đơn điệu của hàm số. Áp dụng vào bài toán: Giải quyết các bài toán về tìm khoảng đơn điệu của hàm số dựa trên bảng biến thiên hoặc đồ thị được cho sẵn. 3. Phương pháp tiếp cận:

Bài học được trình bày theo phương pháp từ lý thuyết đến thực hành. Đầu tiên, bài học sẽ cung cấp kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số, bao gồm định nghĩa, điều kiện cần và đủ. Sau đó, bài học sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định tính đơn điệu dựa trên bảng biến thiên và đồ thị hàm số thông qua các ví dụ minh họa cụ thể, đa dạng về dạng bài tập. Học sinh sẽ được hướng dẫn từng bước, từ việc phân tích thông tin trên bảng biến thiên và đồ thị đến việc kết luận về tính đơn điệu của hàm số. Cuối cùng, bài học sẽ bao gồm các bài tập tự luyện để học sinh củng cố kiến thức và kỹ năng đã học.

4. Ứng dụng thực tế:

Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là:

Toán học: Xác định cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giải các bài toán liên quan đến bất phương trình, phương trình chứa hàm số. Vật lý: Mô tả sự biến thiên của các đại lượng vật lý theo thời gian hoặc các yếu tố khác. Ví dụ: vận tốc, gia tốc, năng lượng... Kinh tế: Phân tích xu hướng tăng trưởng, giảm sút của doanh thu, lợi nhuận... 5. Kết nối với chương trình học:
Bài học này có liên hệ chặt chẽ với các bài học khác trong chương trình Toán học lớp 12, cụ thể là:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: Kiến thức về tính đơn điệu là cơ sở để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số chính xác.
Cực trị của hàm số: Xác định khoảng đơn điệu giúp tìm được các điểm cực trị của hàm số.
Ứng dụng đạo hàm: Tính đơn điệu của hàm số được xác định dựa trên dấu của đạo hàm.

6. Hướng dẫn học tập:

Để học hiệu quả bài học này, học sinh nên:

Chuẩn bị đầy đủ kiến thức: Ôn lại các kiến thức cơ bản về hàm số, đạo hàm. Tập trung vào các ví dụ minh họa: Thực hành giải các ví dụ trong bài học để hiểu rõ cách áp dụng lý thuyết. Giải nhiều bài tập: Làm các bài tập tự luyện để củng cố kiến thức và kỹ năng. Tra cứu tài liệu: Sử dụng sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để tìm hiểu thêm về các khái niệm và phương pháp giải. * Thảo luận với bạn bè: Trao đổi, giải đáp thắc mắc với bạn bè để củng cố kiến thức. Từ khóa: Xét tính đơn điệu, hàm số, bảng biến thiên, đồ thị hàm số, hàm số đơn điệu tăng, hàm số đơn điệu giảm, đạo hàm, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, khoảng đơn điệu, toán học lớp 12, khảo sát hàm số, bài tập hàm số, định nghĩa hàm số đơn điệu, điều kiện đơn điệu, phân tích đồ thị, phân tích bảng biến thiên, ứng dụng đạo hàm trong xét tính đơn điệu, tìm khoảng đơn điệu, bài toán đơn điệu, vẽ đồ thị hàm số đơn điệu, xác định tính đơn điệu, giải tích, toán cao cấp, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, tính chất hàm số, biến thiên hàm số, khảo sát và vẽ đồ thị.

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số.

1. Bài tập minh họa
Bài 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên sau:

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $( – \infty ;5).$
B. $(0;2).$
C. $(2; + \infty ).$
D. $(0; + \infty ).$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị của hàm số $y = f(x)$ là đường đi lên theo chiều từ trái sang phải trên khoảng $(2; + \infty ).$
Chọn đáp án C.

Bài 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
A. $( – 1;1).$
B. $(0;1).$
C. $(4; + \infty ).$
D. $( – \infty ;2).$

Dựa vào BBT ta có hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trong khoảng $(0;1).$
Chọn đáp án B.

Bài 3. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( – \infty ;1).$
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;3).$
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2; + \infty ).$
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(3; + \infty ).$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $(0;3)$ hàm số sẽ đồng biến trên khoảng $(0;1)$ và $(2;3).$
Chọn đáp án B.

Bài 4. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị hàm số như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số luôn đồng biến trên $R.$
B. Hàm số nghịch biến trên $(1; + \infty ).$
C. Hàm số đồng biến trên $( – 1; + \infty ).$
D. Hàm số nghịch biến trên $( – \infty ; – 1).$

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên $( – \infty ; – 1).$
Chọn đáp án D.

Bài 5. Cho hàm số $y = f(x).$ Đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình bên:

Đặt $h(x) = f(x) – \frac{{{x^2}}}{2}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số $y = h(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2;3).$
B. Hàm số $y = h(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;4).$
C. Hàm số $y = h(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;1).$
D. Hàm số $y = h(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;4).$

Ta có $h'(x) = f'(x) – x.$

Từ đồ thị của $f'(x)$ và đường thẳng $y = x$ ta suy ra trên khoảng $(2;4)$ thì đồ thị $f'(x)$ nằm dưới đường thẳng $y = x.$ Do đó $h'(x) < 0$ trên $(2;4).$
Chọn đáp án D.

2. Bài tập tự luyện
Bài 1. Hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên $R\backslash \{ 2\} .$
B. Hàm số đồng biến trên $( – \infty ;2)$ và $(2; + \infty ).$
C. Hàm số nghịch biến trên $( – \infty ;2)$ và $(2; + \infty ).$
D. Hàm số nghịch biến trên $R.$

Bài 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $( – \infty ;2)$ và $(2; + \infty ).$
B. Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $( – \infty ;1) \cup (1; + \infty ).$
C. Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $R.$
D. Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $( – \infty ;1)$ và $(1; + \infty ).$

Bài 3. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Số mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
I. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-3;-2).$
II. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ;5).$
III. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( – 2; + \infty ).$
IV. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ; – 2).$
A. $2.$
B. $3.$
C. $4.$
D. $1.$

Bài 4. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $(-1;1).$
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1; + \infty ).$
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1; + \infty ).$
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $(0;1).$

Bài 5. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty ).$
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1).$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0).$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1).$

Bài 6. Cho hàm số $f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có đồ thị như hình bên dưới.

Xét các mệnh đề sau:
(I) Hàm số đồng biến trên các khoảng $( – \infty ;1)$ và $(1; + \infty ).$
(II) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $(1; + \infty ).$
(III) Hàm số đồng biến trên tập xác định.
Số các mệnh đề đúng là:
A. $2.$
B. $1.$
C. $0.$
D. $3.$

Bài 7. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?